Calcular o polinômio de Legendre P3(x) usando a fórmula
Pn(x)=12^n sumk=0^M (-1)^k(2 n-2 k)!k!(n-k)!(n-2 k)! x^n-2 k
onde M=n2 se n é par e M=n-12 se n é ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio de Legendre usando uma fórmula específica. Isso tá relacionado com a matemática dos polinômios e fatoriais. Vamos precisar entender como aplicar essa fórmula direitinho, passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de no nosso caso. Aqui, , então vamos usar esse valor na fórmula para calcular .

Passo 3

Agora, precisamos determinar o valor de M = n2 & se n é par n-12 & se n é ímpar que aparece na fórmula. A fórmula diz que:
M = 3-12 = 1 ééí
Como é ímpar, temos:

Passo 4

Com P3(x) = 12^3 sumk=0^1 (-1)^k(2 cdot 3 - 2k)!k!(3 - k)!(3 - 2k)! x^3 - 2k e 12^3 = 18 , vamos agora substituir esses valores na fórmula do polinômio de Legendre:
P3(x) = 18 sumk=0^1 (-1)^k(6 - 2k)!k!(3 - k)!(3 - 2k)! x^3 - 2k
Simplificando :
Então, a expressão fica:

Passo 5

Vamos calcular cada termo da soma para (-1)^0(6 - 0)!0!(3 - 0)!(3 - 0)! x^3 - 0 = 1 cdot 6!1 cdot 3! cdot 3! x^3 = 7206 cdot 6 x^3 = 72036 x^3 = 20x^3 e (-1)^1(6 - 2)!1!(3 - 1)!(3 - 2)! x^3 - 2 = -1 cdot 4!1 cdot 2! cdot 1! x^1 = -242 cdot 1 x = -12x :
Para :
Para :

Passo 6

Agora, somamos os dois termos que calculamos:
20x^3 - 12x
E multiplicamos pelo P3(x) = 18 (20x^3 - 12x) = 20x^38 - 12x8 = 5x^32 - 3x2 que estava na frente da soma:

Resposta

O polinômio de Legendre P3(x) = 5x^3 - 3x2 é:

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