Use a transformação de Laplace
para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
com
e
nos seguintes casos: (b)
(criticamente amortecido).
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do oscilador harmônico amortecido usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
Com as condições iniciais
e
. Aqui, estamos lidando com equações diferenciais e aplicando a Transformada de Laplace para encontrar a solução. Vamos precisar entender como aplicar a transformada nas derivadas e resolver para
, que é a transformada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
e
Aplicando isso na nossa equação:
Passo 3
Substituindo as transformadas das derivadas e as condições iniciais:
Onde
.
Passo 4
Vamos juntar os termos que contêm
:
Note que
pode ser fatorado como
porque
.
Passo 5
Agora, isolamos
:
Passo 6
Para encontrar
, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
E para os termos no numerador:
Assumindo que
para simplificar, temos:
Resposta
A solução da equação diferencial, no caso criticamente amortecido, é: