Use a transformação de Laplace para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
com e nos seguintes casos: (b) (criticamente amortecido).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do oscilador harmônico amortecido usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
Com as condições iniciais e . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais e aplicando a Transformada de Laplace para encontrar a solução. Vamos precisar entender como aplicar a transformada nas derivadas e resolver para , que é a transformada de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
e
Aplicando isso na nossa equação:

Passo 3

Substituindo as transformadas das derivadas e as condições iniciais:
Onde .

Passo 4

Vamos juntar os termos que contêm :
Note que pode ser fatorado como porque .

Passo 5

Agora, isolamos :

Passo 6

Para encontrar , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
E para os termos no numerador:
Assumindo que para simplificar, temos:

Resposta

A solução da equação diferencial, no caso criticamente amortecido, é:

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