Use a transformação de Laplace L para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
ddotx+2 lambda dotx+omega0^2 x=f(t)
com x(0)=x0 e dotx(0)=v0 nos seguintes casos: (b) omega0^2=lambda^2 (criticamente amortecido).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial do oscilador harmônico amortecido usando a Transformada de Laplace. A equação que temos é:
ddotx + 2 lambda dotx + lambda^2 x = f(t)
Com as condições iniciais e . Aqui, estamos lidando com equações diferenciais e aplicando a Transformada de Laplace para encontrar a solução. Vamos precisar entender como aplicar a transformada nas derivadas e resolver para , que é a transformada de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é dada por:
Ldotx(t) = sX(s) - x(0)
e
Lddotx(t) = s^2X(s) - s x(0) - dotx(0)
Aplicando isso na nossa equação:
Lddotx + 2 lambda Ldotx + lambda^2 Lx = Lf(t)

Passo 3

Substituindo as transformadas das derivadas e as condições iniciais:
s^2X(s) - s x0 - v0 + 2 lambda (s X(s) - x0) + lambda^2 X(s) = F(s)
Onde .

Passo 4

Vamos juntar os termos que contêm X(s)(s^2 + 2 lambda s + lambda^2) = s x0 + v0 + 2 lambda x0 + F(s) :
Note que pode ser fatorado como porque .

Passo 5

Agora, isolamos X(s) = s x0 + v0 + 2 lambda x0 + F(s)(s + lambda)^2 :

Passo 6

Para encontrar L^-11(s + lambda)^2 = t e^-lambda t , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace. Sabemos que:
L^-1s + 2 lambda(s + lambda)^2 = (1 + 2 lambda t)e^-lambda t
E para os termos no numerador:
x(t) = (x0 + (v0 + lambda x0) t) e^-lambda t
Assumindo que para simplificar, temos:

Resposta

A solução da equação diferencial, no caso criticamente amortecido, é:
x(t) = (x0 + (v0 + lambda x0) t) e^-lambda t

Exercícios relacionados