Use a transformação de Laplace para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
com e nos seguintes casos: © Interprete físicamente as soluções achadas em (a) e (b) quando .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente interpretar fisicamente as soluções encontradas nos itens anteriores (a) e (b) para a equação do oscilador harmônico amortecido quando não tem força externa agindo sobre o sistema, ou seja, quando . A matéria envolvida aqui é a de equações diferenciais e, mais especificamente, o comportamento de sistemas oscilatórios com amortecimento. Para entender isso, vamos pensar no que cada tipo de solução nos diz sobre como o sistema se comporta ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, quando resolvemos uma equação diferencial como essa sem força externa ( ), estamos analisando como o sistema oscila naturalmente. As soluções dependem do valor de (que representa o amortecimento) em relação a (a frequência natural do sistema).

Passo 3

No item (a), provavelmente tratamos do caso superamortecido, onde . Nesse cenário, o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar. A solução envolve duas exponenciais decrescentes diferentes, indicando que o deslocamento da posição retorna ao ponto de equilíbrio de forma mais lenta comparado ao caso criticamente amortecido.

Passo 4

Já no item (b), provavelmente lidamos com o caso subamortecido, onde . Aqui, o sistema oscila ao redor do ponto de equilíbrio, mas com uma amplitude que diminui exponencialmente ao longo do tempo devido ao amortecimento. A solução envolve funções oscilatórias (senos e cossenos) multiplicadas por uma exponencial decrescente.

Passo 5

Fizemos isso porque o amortecimento afeta como o sistema perde energia ao longo do tempo. No caso superamortecido, a energia é dissipada sem permitir que o sistema oscile, retornando lentamente ao equilíbrio. No caso subamortecido, há oscilações que vão diminuindo gradualmente até que o sistema pare.

Passo 6

Resumindo, a interpretação física das soluções quando é:
  • Superamortecido ( ): O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, com uma desaceleração gradual.
  • Subamortecido ( ): O sistema oscila em torno do equilíbrio, mas com amplitudes que diminuem com o tempo devido ao amortecimento.

Resposta

Quando não há força externa ( ), as soluções indicam que:
  • Superamortecido ( ): O sistema retorna ao equilíbrio de forma lenta e sem oscilações.
  • Subamortecido ( ): O sistema oscila ao redor do equilíbrio com amplitudes que diminuem gradualmente devido ao amortecimento.

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