Use a transformação de Laplace
para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
com
e
nos seguintes casos: © Interprete físicamente as soluções achadas em (a) e (b) quando
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente interpretar fisicamente as soluções encontradas nos itens anteriores (a) e (b) para a equação do oscilador harmônico amortecido quando não tem força externa agindo sobre o sistema, ou seja, quando
. A matéria envolvida aqui é a de equações diferenciais e, mais especificamente, o comportamento de sistemas oscilatórios com amortecimento. Para entender isso, vamos pensar no que cada tipo de solução nos diz sobre como o sistema se comporta ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, quando resolvemos uma equação diferencial como essa sem força externa (
), estamos analisando como o sistema oscila naturalmente. As soluções dependem do valor de
(que representa o amortecimento) em relação a
(a frequência natural do sistema).
Passo 3
No item (a), provavelmente tratamos do caso superamortecido, onde
. Nesse cenário, o sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar. A solução envolve duas exponenciais decrescentes diferentes, indicando que o deslocamento da posição retorna ao ponto de equilíbrio de forma mais lenta comparado ao caso criticamente amortecido.
Passo 4
Já no item (b), provavelmente lidamos com o caso subamortecido, onde
. Aqui, o sistema oscila ao redor do ponto de equilíbrio, mas com uma amplitude que diminui exponencialmente ao longo do tempo devido ao amortecimento. A solução envolve funções oscilatórias (senos e cossenos) multiplicadas por uma exponencial decrescente.
Passo 5
Fizemos isso porque o amortecimento afeta como o sistema perde energia ao longo do tempo. No caso superamortecido, a energia é dissipada sem permitir que o sistema oscile, retornando lentamente ao equilíbrio. No caso subamortecido, há oscilações que vão diminuindo gradualmente até que o sistema pare.
Passo 6
Resumindo, a interpretação física das soluções quando
é:
- Superamortecido (
): O sistema retorna ao equilíbrio sem oscilar, com uma desaceleração gradual. - Subamortecido (
): O sistema oscila em torno do equilíbrio, mas com amplitudes que diminuem com o tempo devido ao amortecimento.
Resposta
Quando não há força externa (
), as soluções indicam que:
- Superamortecido (
): O sistema retorna ao equilíbrio de forma lenta e sem oscilações. - Subamortecido (
): O sistema oscila ao redor do equilíbrio com amplitudes que diminuem gradualmente devido ao amortecimento.
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para resolver a equação diferencial do oscilador harmônico amortecido
com
e
nos seguintes casos: (b)
(criticamente amortecido).
Use a transformação de Laplace
para resolver a equação diferencial de segunda ordem homogênea
com
e
. Quantas soluções são achadas com este método?. Explique.
A água a céu aberto a
evapora por causa do escape de algumas moléculas da superfície. O calor de vaporização (
) é aproximadamente igual a
, em que
é a energia média das moléculas que escapam e
é o número de moléculas por grama. (a) Determine
. (b) Qual é a razão entre
e a energia cinética média das moléculas de
, supondo que a segunda está relacionada à temperatura da mesma forma que nos gases?
Use o método de Frobenius para resolver a seguinte equação diferencial ordinária de segunda ordem homogênea
e expresse as duas soluções
e
em termos de funções trigonométricas. Explique qual é a natureza da(s) singularidade(s).