Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.
I. z = 4*x^2 - y^2 + 2*y
(1, 1, 1)

Passo 1

Beleza, a gente tem que encontrar a equação do plano tangente à superfície definida por no ponto . Isso envolve cálculo de derivadas parciais para achar as inclinações do plano nos eixos e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dão a inclinação da superfície nas direções desses eixos.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Isso significa que a inclinação do plano tangente em é 8 e em é 0.

Passo 4

Com as derivadas parciais conhecidas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores que temos:

Passo 5

Simplificando a equação:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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