Calcule L{f(t)} usando a definição:
Calcule L{sen(t)} que é sent, 0 <= t < pi e 0, t ≥ pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! A gente precisa encontrar L{f(t)} onde f(t) é igual a para e zero para t ≥ pi. Para isso, vamos usar a definição da Transformada de Laplace, que envolve integrar a função multiplicada por de 0 até o infinito.

Passo 2

Primeiro, lembrando a definição da Transformada de Laplace:
No nosso caso, como só de 0 até pi e depois é zero, a integral vai de 0 a pi:

Passo 3

Agora, vamos integrar . Para isso, usamos a técnica de integração por partes ou reconhecemos a integral padrão. A integral de de 0 a pi é:

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 0 a pi, temos:
Calculando nos limites:
Para :
Para :

Passo 5

Subtraindo os valores:

Resposta

A Transformada de Laplace de f(t) é:

Exercícios relacionados

(9) Determine c1 e c2 de modo que y(x) = c1 e^(2 x) + c2 e^(x) + 2 sen(x) satisfaça as condicooes iniciais y(0)=0, y'(0)=1.
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
y' + 4y = e^(-4t), y(0) = 0.
(8) Verifique se o Teorema de Picard garante a unicidade de solução para a equação diferencial y' = raiz(y^2 - 9), passando pelo ponto:
(a) 1,4
(10)) Verifique se x^3 + 2 x^2 y - 2 y^3 = c é uma solução implícita da equação (x^2 - 6y^2) y' + 3x^2 + 2xy = 0.