Considere o campo vetorial
Determine se
é ou não conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por
E a missão é descobrir se esse campo é conservativo ou não. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e quais os critérios para identificar isso.
Passo 2
Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo é conservativo se existe uma função potencial
tal que:
Isso significa que as componentes do campo podem ser derivadas parciais dessa função potencial. Um jeito comum de verificar se um campo é conservativo é usando a condição de igualdade das derivadas cruzadas. Ou seja, se temos:
Então, o campo é conservativo. Vamos aplicar isso no nosso caso.
Passo 3
Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Vemos que elas são iguais:
Resposta
Como as derivadas parciais são iguais, o campo vetorial
é conservativo.
Exercícios relacionados
Use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial.
a)
b)
c)
d) sent
e)
g)
h)
i)
a)
b)
c)
d)
e)
g)
h)
i)
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
.
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Um fio tem um formato de um círculo
. Determine sua massa se a densidade no ponto
é
.