Considere o campo vetorial
F(x, y) = ln(y^2 + 1) i + (2y(x - 1))/(y^2 + 1) j
Determine se F é ou não conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por
E a missão é descobrir se esse campo é conservativo ou não. Para isso, vamos precisar entender o que é um campo conservativo e quais os critérios para identificar isso.

Passo 2

Primeiro, o que é um campo vetorial conservativo? Basicamente, um campo é conservativo se existe uma função potencial tal que:
Isso significa que as componentes do campo podem ser derivadas parciais dessa função potencial. Um jeito comum de verificar se um campo é conservativo é usando a condição de igualdade das derivadas cruzadas. Ou seja, se temos:
Então, o campo é conservativo. Vamos aplicar isso no nosso caso.

Passo 3

Vamos identificar as componentes do nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Primeiro, a derivada de em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, vamos comparar as duas derivadas:
Vemos que elas são iguais:

Resposta

Como as derivadas parciais são iguais, o campo vetorial é conservativo.

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial.
a) f(t)+integral0^t(t-tau) f(tau) d tau=t
b) f(t)=2 t-4 integral0^t sen tau f(t-tau) d tau
c) f(t)=t e^t+integral0^t tau f(t-tau) d tau
d) f(t)+2 integral0^t cos (t-tau) f(tau) d tau=4 e^-t+ sent
e) f(t)+integral0^t f(tau) d tau=1
f) t-2 f(t)=integral0^t(e^tau-e^-tau) f(t-tau) d tau
g) y^prime(t)=1-sen t-integral0^t y(tau) d tau, y(0)=0
h) y^prime+6 y+9 integral0^t y(tau) d tau=1, y(0)=0
i) f(t)=cos t+integral0^t e^-tau f(t-tau) d tau
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
{ y^iv - y = t, y(0) = y'(0) = y''(0) = y'''(0) = 0 }.
Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas.
a) ly^prime-3 y=de
b) ly^prime prime+y=de
c) ly^prime prime+y=de
d) ly^prime prime-2 y^prime=1+de
e) ly^prime prime+4 y^prime+13 y=de
f) ly^prime prime+2 y^prime+y=de
g) ly^prime prime-7 y^prime+6 y=e^t+de
Um fio tem um formato de um círculo x^2 + y^2 = a^2. Determine sua massa se a densidade no ponto (x, y) é |x| + |y|.