Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial a seguir.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace para derivadas e lidar com funções exponenciais e trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
E sabemos que:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a transformada de Laplace de . Sabemos que:
Aqui, e , então:

Passo 4

Voltando à nossa equação transformada:
Vamos isolar :
Para simplificar a inversão da transformada, vamos decompor em frações parciais, se necessário, mas nesse caso podemos reconhecer que a solução será a soma das transformadas inversas individuais.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace, sabemos que:
E para a segunda parte, após simplificação, obtemos termos que correspondem a funções exponenciais e senoidais.
Portanto, a solução geral é:
çã

Resposta

A solução do problema é:

Exercícios relacionados

Responda: O que é uma série?
Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial a seguir.
Considere . Expresse em termos da função degrau unitário.
Resolver o PVI : usando transformada de Laplace.