Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, que ajuda a resolver equações diferenciais transformando-as em equações algébricas mais fáceis de resolver. Vamos precisar aplicar as propriedades da transformada de Laplace para derivadas e lidar com funções exponenciais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que:
E sabemos que:
Aplicando isso na nossa equação:
Substituindo as transformadas:
Simplificando:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a transformada de Laplace de
. Sabemos que:
Aqui,
e
, então:
Passo 4
Voltando à nossa equação transformada:
Vamos isolar
:
Para simplificar a inversão da transformada, vamos decompor em frações parciais, se necessário, mas nesse caso podemos reconhecer que a solução será a soma das transformadas inversas individuais.
Passo 5
Aplicando a transformada inversa de Laplace, sabemos que:
E para a segunda parte, após simplificação, obtemos termos que correspondem a funções exponenciais e senoidais.
Portanto, a solução geral é:
Resposta
A solução do problema é:
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Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial a seguir.
Considere
. Expresse
em termos da função degrau unitário.
Resolver o PVI
: usando transformada de Laplace.