Resolver o PVI : usando transformada de Laplace.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial inicial com a condição inicial . O que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando elas têm componentes complicados como exponenciais e funções trigonométricas. Para isso, precisamos lembrar como aplicar a transformada na derivada e em funções como .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de é , onde é a transformada de . Como , isso simplifica para .
Então, transformando a equação:
Isso fica:

Passo 3

Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Agora, precisamos encontrar a transformada de . Para isso, usamos a propriedade da transformada de funções do tipo . A transformada de é:
Mas como temos um multiplicando, usamos a propriedade que diz que .

Passo 4

Aplicando essa propriedade:
Calculando a derivada:
Portanto:

Passo 5

Voltando à nossa equação transformada:
Podemos dividir ambos os lados por (desde que ):

Passo 6

Agora, precisamos encontrar a transformada inversa para obter . Observamos que a expressão se parece com a transformada de , que é:
Comparando com nosso , temos e . Assim, a transformada inversa é:

Resposta

A solução da equação diferencial com é:

Exercícios relacionados

Considere . Expresse em termos da função degrau unitário.
Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial a seguir.
Considere . Calcule a transformada de Laplace de .
Calcule.