Resolver o PVI
: usando transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial inicial
com a condição inicial
. O que vamos usar aqui é a Transformada de Laplace, uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, especialmente quando elas têm componentes complicados como exponenciais e funções trigonométricas. Para isso, precisamos lembrar como aplicar a transformada na derivada e em funções como
.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a transformada de
é
, onde
é a transformada de
. Como
, isso simplifica para
.
Então, transformando a equação:
Isso fica:
Passo 3
Vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Agora, precisamos encontrar a transformada de
. Para isso, usamos a propriedade da transformada de funções do tipo
. A transformada de
é:
Mas como temos um
multiplicando, usamos a propriedade que diz que
.
Passo 4
Aplicando essa propriedade:
Calculando a derivada:
Portanto:
Passo 5
Voltando à nossa equação transformada:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a transformada inversa para obter
. Observamos que a expressão se parece com a transformada de
, que é:
Comparando com nosso
, temos
e
. Assim, a transformada inversa é:
Resposta
A solução da equação diferencial
com
é:
Exercícios relacionados
Considere
. Expresse
em termos da função degrau unitário.
Use a transformada de Laplace para resolver os problemas de valor inicial a seguir.
Considere
. Calcule a transformada de Laplace de
.
Calcule.