Calcular a inclinação da tangente à curva segundo a qual o plano corta o parabolóide de revolução , no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a inclinação da tangente à curva na qual o plano corta o parabolóide de revolução , especificamente no ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas que nos ajudam a encontrar inclinações de tangentes em curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva de interseção entre o plano e o parabolóide . Como o plano fixa em 1, substituímos na equação do parabolóide:
Então, a curva de interseção é definida por com . Podemos representar essa curva no espaço como .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da tangente a essa curva no ponto . A inclinação de uma tangente em uma curva dada por é determinada pela derivada de em relação a .
No nosso caso, . Vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Com a derivada , podemos encontrar a inclinação da tangente no ponto :

Resposta

A inclinação da tangente à curva no ponto é 4.

Exercícios relacionados

Determine a derivada:
.
Derive:
.
Use a derivação logarítmica para determinar :
.
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(h) ,