Calcular a inclinação da tangente à curva segundo a qual o plano
corta o parabolóide de revolução
, no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a inclinação da tangente à curva na qual o plano
corta o parabolóide de revolução
, especificamente no ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas que nos ajudam a encontrar inclinações de tangentes em curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva de interseção entre o plano
e o parabolóide
. Como o plano fixa
em 1, substituímos
na equação do parabolóide:
Então, a curva de interseção é definida por
com
. Podemos representar essa curva no espaço como
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da tangente a essa curva no ponto
. A inclinação de uma tangente em uma curva dada por
é determinada pela derivada de
em relação a
.
No nosso caso,
. Vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Com a derivada
, podemos encontrar a inclinação da tangente no ponto
:
Resposta
A inclinação da tangente à curva no ponto
é 4.
Exercícios relacionados
Determine a derivada:
.
Derive:
.
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(h) ,
(h)