Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Passo 1
Então, vamos resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando a transformada de Laplace. As equações que temos são:
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as propriedades das transformadas de Laplace e resolver o sistema de equações na frequência.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambas as equações. Lembrando que a transformada de Laplace de
é
e a transformada da função
é
. Aplicando isso, temos:
Para a primeira equação:
Substituindo
:
Para a segunda equação:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos reorganizar as equações para isolar
e
:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, temos um sistema linear de duas equações com duas incógnitas
e
.
Passo 4
Vamos resolver esse sistema usando método de substituição ou matriz. Para simplificar, usaremos matriz:
Calculamos o determinante
do sistema:
Agora, resolvemos para
e
:
Passo 5
Após encontrar
e
, aplicamos a transformada inversa de Laplace para obter
e
. Isso envolve decompor em frações parciais e usar tabelas de transformadas de Laplace para identificar as funções no domínio do tempo.
Finalmente, após realizar os cálculos, obtemos as soluções:
Resposta
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Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
sent e
, com
e
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
. Resp.
.
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, com
e
.