Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .

Passo 1

Então, vamos resolver um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) usando a transformada de Laplace. As equações que temos são:
com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar aplicar as propriedades das transformadas de Laplace e resolver o sistema de equações na frequência.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em ambas as equações. Lembrando que a transformada de Laplace de é e a transformada da função é . Aplicando isso, temos:
Para a primeira equação:
Substituindo :
Para a segunda equação:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos reorganizar as equações para isolar e :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, temos um sistema linear de duas equações com duas incógnitas e .

Passo 4

Vamos resolver esse sistema usando método de substituição ou matriz. Para simplificar, usaremos matriz:
Calculamos o determinante do sistema:
Agora, resolvemos para e :

Passo 5

Após encontrar e , aplicamos a transformada inversa de Laplace para obter e . Isso envolve decompor em frações parciais e usar tabelas de transformadas de Laplace para identificar as funções no domínio do tempo.
Finalmente, após realizar os cálculos, obtemos as soluções:

Resposta

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Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
sent e , com e .
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e . Resp. .
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, com e .