Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo de segunda ordem. O enunciado é:
com as condições iniciais e . Vamos usar o segundo teorema de traslação, que nos ajuda a lidar com funções que começam a agir em um certo ponto no tempo, tipo a função de Heaviside .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace transforma equações diferenciais em equações algébricas, o que facilita a resolução.
Transformando termo a termo:

Passo 3

Sabemos que:
Substituindo as condições iniciais e :

Passo 4

Agora, vamos reunir os termos com :
Isolando :

Passo 5

Vamos fatorar o denominador :
Então, temos:

Passo 6

Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para simplificar as expressões:
Para a primeira fração:
Resolvendo, encontramos e , então:

Passo 7

Aplicando a Transformada de Laplace inversa:

Passo 8

Para a segunda parte, usamos a propriedade de deslocamento da Transformada de Laplace:
onde é a transformada inversa de . Fazendo a decomposição em frações parciais e invertendo, obtemos:

Passo 9

Juntando tudo, a solução geral é:

Resposta

A solução da EDO é:

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e . Resp. .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .