Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo de segunda ordem. O enunciado é:
com as condições iniciais
e
. Vamos usar o segundo teorema de traslação, que nos ajuda a lidar com funções que começam a agir em um certo ponto no tempo, tipo a função de Heaviside
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace transforma equações diferenciais em equações algébricas, o que facilita a resolução.
Transformando termo a termo:
Passo 3
Sabemos que:
Substituindo as condições iniciais
e
:
Passo 4
Agora, vamos reunir os termos com
:
Isolando
:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador
:
Então, temos:
Passo 6
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para simplificar as expressões:
Para a primeira fração:
Resolvendo, encontramos
e
, então:
Passo 7
Aplicando a Transformada de Laplace inversa:
Passo 8
Para a segunda parte, usamos a propriedade de deslocamento da Transformada de Laplace:
onde
é a transformada inversa de
. Fazendo a decomposição em frações parciais e invertendo, obtemos:
Passo 9
Juntando tudo, a solução geral é:
Resposta
A solução da EDO é:
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com
e
. Resp.
.
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.