Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
y^prime prime+2 y^prime+y=f(t), com y(0)=0 e y^prime(0)=0. Resp. y(t)=integral0^t u e^-u f(t-u) d u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau:
y'' + 2y' + y = f(t)
Com as condições iniciais:
y(0) = 0 e y'(0) = 0
O conteúdo que vamos usar para resolver essa equação é o Teorema de Convolução, que nos ajuda a encontrar a solução particular de EDOs lineares não homogêneas. Para isso, precisamos entender como transformar a equação e aplicar a convolução para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar a equação diferencial:
y'' + 2y' + y = f(t)
E notar que ela é linear e de coeficientes constantes. Isso é importante porque permite usar transformadas, como a Transformada de Laplace, para facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
Ly' = sY(s) - y(0)
Ly'' = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)
Dado que Ly'' = s^2Y(s) e Ly' = sY(s) , as transformadas simplificam para:

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace na equação original:
s^2Y(s) + 2sY(s) + Y(s) = Lf(t)
Podemos fatorar Y(s)(s^2 + 2s + 1) = Lf(t) :
Y(s) = Lf(t)(s + 1)^2
Note que , então:

Passo 5

Agora, para encontrar L^-11(s + 1)^2 = t e^-t , precisamos aplicar a Transformada de Laplace inversa. Sabemos que:
y(t) = integral0^t u e^-u f(t - u) , du
Portanto, pela propriedade de convolução:

Resposta

Então, a solução da equação diferencial dada usando o teorema de convolução é:
y(t) = integral0^t u e^-u f(t - u) , du

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