Resolver as seguintes EDOs (usar o teorema de convolução):
, com e . Resp. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau:
Com as condições iniciais:
O conteúdo que vamos usar para resolver essa equação é o Teorema de Convolução, que nos ajuda a encontrar a solução particular de EDOs lineares não homogêneas. Para isso, precisamos entender como transformar a equação e aplicar a convolução para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos pegar a equação diferencial:
E notar que ela é linear e de coeficientes constantes. Isso é importante porque permite usar transformadas, como a Transformada de Laplace, para facilitar a resolução.

Passo 3

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é:
Dado que e , as transformadas simplificam para:

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace na equação original:
Podemos fatorar :
Note que , então:

Passo 5

Agora, para encontrar , precisamos aplicar a Transformada de Laplace inversa. Sabemos que:
Portanto, pela propriedade de convolução:

Resposta

Então, a solução da equação diferencial dada usando o teorema de convolução é:

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Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Resolver as seguintes EDOs (usar o segundo teorema de traslação):
, com e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .