Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O que temos aqui são duas equações com as funções e , e queremos encontrar essas funções dadas as condições iniciais e . Para isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas equações, resolver no domínio da frequência e depois voltar para o tempo usando a Transformada Inversa de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada é e para é .
Para a primeira equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Substituindo as condições iniciais e :

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na segunda equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Substituindo as condições iniciais:

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas e :
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar :

Passo 5

Agora que temos , podemos substituir de volta na segunda equação para encontrar :

Passo 6

Agora, vamos simplificar e prepará-lo para a Transformada Inversa de Laplace. Observando os termos, podemos decompô-los em frações parciais para facilitar a inversão:
Cada termo será invertido separadamente usando tabelas de Transformadas de Laplace conhecidas.

Passo 7

Vamos calcular a Transformada Inversa de cada termo de :
  1. corresponde a .
  2. pode ser decomposto e corresponde a .
  3. corresponde a .
Somando tudo:
Simplificando os termos:

Passo 8

Agora, vamos encontrar usando a Transformada Inversa de Laplace que obtivemos anteriormente:
Aplicando a Transformada Inversa:

Resposta

As soluções para o sistema de EDOs são:

Exercícios relacionados

Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e sent , com e .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
. Resp e .