Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O que temos aqui são duas equações com as funções
e
, e queremos encontrar essas funções dadas as condições iniciais
e
. Para isso, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas equações, resolver no domínio da frequência e depois voltar para o tempo usando a Transformada Inversa de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembre-se que a Transformada de Laplace de uma derivada
é
e para
é
.
Para a primeira equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Substituindo as condições iniciais
e
:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace na segunda equação:
Aplicando a Transformada de Laplace:
Substituindo as condições iniciais:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas
e
:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, podemos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar
:
Passo 5
Agora que temos
, podemos substituir de volta na segunda equação para encontrar
:
Passo 6
Agora, vamos simplificar
e prepará-lo para a Transformada Inversa de Laplace. Observando os termos, podemos decompô-los em frações parciais para facilitar a inversão:
Cada termo será invertido separadamente usando tabelas de Transformadas de Laplace conhecidas.
Passo 7
Vamos calcular a Transformada Inversa de cada termo de
:
-
corresponde a . -
pode ser decomposto e corresponde a . -
corresponde a .
Somando tudo:
Simplificando os termos:
Passo 8
Agora, vamos encontrar
usando a Transformada Inversa de Laplace que obtivemos anteriormente:
Aplicando a Transformada Inversa:
Resposta
As soluções para o sistema de EDOs são:
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Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
sent
, com
e
.
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e
, com
e
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