Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
sent
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que você me passou. A gente tem duas equações envolvendo as derivadas de
e
em relação a
, e também condições iniciais para
e
. Para resolver esse sistema, vamos precisar usar métodos de solução de sistemas lineares de EDOs, como combinação de equações e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações de forma mais clara:
Aqui,
e
representam as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar
:
Simplificando:
Isso nos dá uma relação direta entre
e
.
Passo 4
Agora que sabemos que
, podemos substituir isso na primeira equação original:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Agora temos uma equação diferencial simples para
:
Para encontrar
, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral de
é
, então:
Passo 6
Agora vamos usar a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que
:
Portanto, a solução para
é:
Passo 7
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a relação que encontramos anteriormente,
:
Vamos integrar
para encontrar
:
A integral de
em relação a
é
, e a integral de
é
, então:
Passo 8
Agora usamos a condição inicial para
:
Portanto, a solução para
é:
Resposta
As soluções do sistema são:
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e
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, com
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Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
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, com
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