Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e sent , com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que você me passou. A gente tem duas equações envolvendo as derivadas de e em relação a , e também condições iniciais para e . Para resolver esse sistema, vamos precisar usar métodos de solução de sistemas lineares de EDOs, como combinação de equações e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações de forma mais clara:
Aqui, e representam as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar :
Simplificando:
Isso nos dá uma relação direta entre e .

Passo 4

Agora que sabemos que , podemos substituir isso na primeira equação original:
Substituindo :
Simplificando:

Passo 5

Agora temos uma equação diferencial simples para :
Para encontrar , vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral de é , então:

Passo 6

Agora vamos usar a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que :
Portanto, a solução para é:

Passo 7

Agora que temos , podemos encontrar usando a relação que encontramos anteriormente, :
Vamos integrar para encontrar :
A integral de em relação a é , e a integral de é , então:

Passo 8

Agora usamos a condição inicial para :
Portanto, a solução para é:

Resposta

As soluções do sistema são:

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