Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O que precisamos aqui é aplicar a transformada nas duas equações dadas, usar as condições iniciais e achar as funções
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo das equações. Lembrando que para as derivadas, temos:
Como
, as expressões ficam mais simples.
Passo 3
Aplicando a transformada nas duas equações:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações algébricas:
Vamos resolver esse sistema. Multiplicando a segunda equação por
e somando com a primeira, conseguimos encontrar
:
Resolvendo isso, encontramos
. Com isso, podemos achar
substituindo
na primeira equação.
Passo 5
Com
e
em mãos, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
e
. Fazendo isso, obtemos:
Resposta
As soluções do sistema são:
Exercícios relacionados
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
sent
, com
e
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Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
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Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
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e
, com
e
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