Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O que precisamos aqui é aplicar a transformada nas duas equações dadas, usar as condições iniciais e achar as funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo das equações. Lembrando que para as derivadas, temos:
Como , as expressões ficam mais simples.

Passo 3

Aplicando a transformada nas duas equações:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações algébricas:
Vamos resolver esse sistema. Multiplicando a segunda equação por e somando com a primeira, conseguimos encontrar :
Resolvendo isso, encontramos . Com isso, podemos achar substituindo na primeira equação.

Passo 5

Com e em mãos, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace para encontrar e . Fazendo isso, obtemos:

Resposta

As soluções do sistema são:

Exercícios relacionados

Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e sent , com e .
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e , com e .