Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que é assim:
Nosso objetivo é encontrar as funções
e
que resolvem esse sistema. Para isso, vamos usar métodos de sistemas lineares de EDOs.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Podemos organizar as equações assim:
Isso ajuda a identificar os coeficientes que vamos usar para resolver o sistema.
Passo 3
Agora, vamos expressar o sistema na forma matricial. Isso nos permite aplicar técnicas de álgebra linear para resolver as EDOs. Fica assim:
Onde
.
Passo 4
Vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, quando não temos os termos independentes. Isso significa resolver:
Para isso, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz dos coeficientes.
Passo 5
Calculando os autovalores, resolvemos a equação característica:
Isso resulta em:
Os autovalores são complexos, o que indica que a solução homogênea envolverá funções trigonométricas.
Passo 6
Com os autovalores encontrados, a solução homogênea é dada por:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 7
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) para o sistema completo. Observando os termos independentes, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde
,
,
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 8
Calculando as derivadas da solução particular:
Substituindo
e
no sistema original:
Passo 9
Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para a primeira equação:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Para a segunda equação:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Com , temos
Substituindo
na primeira equação:
Passo 10
Com os valores encontrados, a solução particular é:
Passo 11
Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
Exercícios relacionados
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.
Achar
nas seguintes equações integrais de Volterra:
.
Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
sent
, com
e
.
Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e
, com
e
.