Resolver os seguintes sistemas de EDOs:
e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que é assim:
Nosso objetivo é encontrar as funções e que resolvem esse sistema. Para isso, vamos usar métodos de sistemas lineares de EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de uma forma que fique mais fácil de trabalhar. Podemos organizar as equações assim:
Isso ajuda a identificar os coeficientes que vamos usar para resolver o sistema.

Passo 3

Agora, vamos expressar o sistema na forma matricial. Isso nos permite aplicar técnicas de álgebra linear para resolver as EDOs. Fica assim:
Onde .

Passo 4

Vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, quando não temos os termos independentes. Isso significa resolver:
Para isso, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz dos coeficientes.

Passo 5

Calculando os autovalores, resolvemos a equação característica:
Isso resulta em:
Os autovalores são complexos, o que indica que a solução homogênea envolverá funções trigonométricas.

Passo 6

Com os autovalores encontrados, a solução homogênea é dada por:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 7

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( ) para o sistema completo. Observando os termos independentes, vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde , , e são constantes a serem encontradas.

Passo 8

Calculando as derivadas da solução particular:
Substituindo e no sistema original:

Passo 9

Agora, igualamos os coeficientes dos termos semelhantes:
Para a primeira equação:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Para a segunda equação:
  • Coeficiente de :
  • Termo constante: Com , temos
Substituindo na primeira equação:

Passo 10

Com os valores encontrados, a solução particular é:

Passo 11

Finalmente, a solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral do sistema é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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.
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