Calcule a transformada de Fourier de
. Após isso, (a) esboce o gráfico do módulo da transformada de Fourier em função de
e (b) esboce o gráfico de fase da transformada de Fourier em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função
, onde
é a função degrau de Heaviside. Depois, precisamos esboçar o gráfico do módulo e da fase dessa transformada em função de
. Vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função do tempo
para o domínio da frequência
. A fórmula geral da transformada de Fourier é:
No nosso caso,
, e
é a função degrau que vale 0 para
e 1 para
. Então, a integral fica de 0 a
.
Passo 3
Vamos calcular a transformada:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão para facilitar o esboço dos gráficos. Podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Passo 5
Para o módulo de
:
E para a fase de
:
Passo 6
Agora, vamos resumir:
- A transformada de Fourier de
é . - O módulo de
é . - A fase de
é .
Resposta
A transformada de Fourier de
é
. O gráfico do módulo
apresenta uma curva decrescente simétrica em relação à origem. Já o gráfico da fase
mostra uma função que varia de 0 a
conforme
aumenta de 0 para
.