Calcule a transformada de Fourier de . Após isso, (a) esboce o gráfico do módulo da transformada de Fourier em função de e (b) esboce o gráfico de fase da transformada de Fourier em função de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função , onde é a função degrau de Heaviside. Depois, precisamos esboçar o gráfico do módulo e da fase dessa transformada em função de . Vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função do tempo para o domínio da frequência . A fórmula geral da transformada de Fourier é:
No nosso caso, , e é a função degrau que vale 0 para e 1 para . Então, a integral fica de 0 a .

Passo 3

Vamos calcular a transformada:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão para facilitar o esboço dos gráficos. Podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:

Passo 5

Para o módulo de :
E para a fase de :

Passo 6

Agora, vamos resumir:
  • A transformada de Fourier de é .
  • O módulo de é .
  • A fase de é .

Resposta

A transformada de Fourier de é . O gráfico do módulo apresenta uma curva decrescente simétrica em relação à origem. Já o gráfico da fase mostra uma função que varia de 0 a conforme aumenta de 0 para .

Exercícios relacionados

Mostre que , onde .
Calcule os limites:
a)
b)
c)
i)
j)
k)
q)
r)
r)
d)
I)
t)
e)
m)
u)
f)
n)
v)
g)
o)
x)
h)
p)
Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(e) ,
Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
(b) e .
R.: e