Calcule a transformada de Fourier de . Após isso, (a) esboce o gráfico do módulo da transformada de Fourier em função de e (b) esboce o gráfico de fase da transformada de Fourier em função de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a transformada de Fourier da função , onde é a função degrau de Heaviside. Depois, precisamos esboçar o gráfico do módulo e da fase dessa transformada em função de . Vamos precisar entender o que é a transformada de Fourier e como aplicá-la a funções como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela transforma uma função do tempo para o domínio da frequência . A fórmula geral da transformada de Fourier é:
No nosso caso, , e é a função degrau que vale 0 para e 1 para . Então, a integral fica de 0 a .
Passo 3
Vamos calcular a transformada:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão para facilitar o esboço dos gráficos. Podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Passo 5
Para o módulo de :
E para a fase de :
Passo 6
Agora, vamos resumir:
A transformada de Fourier de é .
O módulo de é .
A fase de é .
Resposta
A transformada de Fourier de é . O gráfico do módulo apresenta uma curva decrescente simétrica em relação à origem. Já o gráfico da fase mostra uma função que varia de 0 a conforme aumenta de 0 para .