Nos exercícios a seguir, calcule as integrais definidas.
integral0^1 d yraiz3 y+1 d y

Passo 1

Vamos entender a questão. Precisamos calcular a integral definida de 0 a 1 da função 1raiz3y + 1 em relação a y. Isso está relacionado ao conteúdo de cálculo integral, especificamente à integração de funções com radicais. Para resolver, vamos utilizar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição para tornar a integral mais fácil de resolver. Seja u = 3y + 1. Assim, derivando ambos os lados, temos dudy = 3, o que significa que dy = du3.

Passo 3

Substituímos u e dy na integral original:
integral0^1 1raiz3y + 1 , dy = integralu(0)^u(1) 1raizu cdot du3

Passo 4

Calculamos os novos limites de integração substituindo y = 0 e y = 1 na expressão u = 3y + 1:
  • Quando y = 0: u = 3(0) + 1 = 1
  • Quando y = 1: u = 3(1) + 1 = 4
Então, a integral fica:
13 integral1^4 u^-1/2 , du

Passo 5

Agora, resolvemos a integral de u^-1/2. A integral de u^n é u^n+1n+1 + C, desde que n neq -1. Portanto:
integral u^-1/2 , du = u^1/21/2 + C = 2raizu + C

Passo 6

Aplicando o resultado da integral:
13 cdot 2raizu = 23 raizu

Passo 7

Substituímos u novamente por 3y + 1 e aplicamos os limites de integração:
23 ( raiz4 - raiz1 ) = 23 (2 - 1) = 23 times 1 = 23

Resposta

O valor da integral é 23.

Exercícios relacionados

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f(x, y)=xraizx^2+y^2
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Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
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