Utilizando uma expansão do tipo
na, para
, mostre que o campo elétrico de um disco uniformemente carregado se comporta como o de uma carga puntiforme, para distâncias muito maiores que o raio do disco.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um disco com carga distribuída de maneira uniforme, e queremos descobrir como o campo elétrico desse disco se comporta quando estamos muito longe dele, ou seja, quando a distância até o disco é muito maior que o raio do disco. Para isso, vamos usar uma expansão binomial do tipo
, válida quando
é muito menor que 1. O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de eletrostática, especialmente o campo elétrico de distribuições de carga.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico de um disco uniformemente carregado no eixo perpendicular ao centro do disco é dado por:
Onde:
-
é a densidade de carga superficial do disco, -
é a constante de permissividade do vácuo, -
é a distância do ponto onde queremos calcular o campo até o centro do disco, -
é o raio do disco.
Queremos encontrar uma aproximação desse campo quando
é muito maior que
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos analisar a expressão dentro dos parênteses:
Podemos reescrever o denominador da fração:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a expansão binomial que mencionamos antes. Observe que
é muito pequeno porque
, então podemos considerar
e
. Assim:
Portanto:
Passo 5
Substituindo essa aproximação de volta na expressão do campo elétrico, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos relacionar isso com uma carga puntiforme. A carga total
do disco é dada por:
Então, podemos escrever:
Note que a expressão
é exatamente a expressão do campo elétrico de uma carga pontual
a uma distância
, que é:
Resposta
Assim, mostramos que quando a distância
é muito maior que o raio
do disco, o campo elétrico do disco uniformemente carregado se comporta como o campo de uma carga puntiforme
, ou seja: