Utilizando uma expansão do tipo (1+a)^n approx 1+ na, para |a|<<1, mostre que o campo elétrico de um disco uniformemente carregado se comporta como o de uma carga puntiforme, para distâncias muito maiores que o raio do disco.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um disco com carga distribuída de maneira uniforme, e queremos descobrir como o campo elétrico desse disco se comporta quando estamos muito longe dele, ou seja, quando a distância até o disco é muito maior que o raio do disco. Para isso, vamos usar uma expansão binomial do tipo (1 + a)^n approx 1 + na, válida quando |a| é muito menor que 1. O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de eletrostática, especialmente o campo elétrico de distribuições de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico de um disco uniformemente carregado no eixo perpendicular ao centro do disco é dado por:
E = sigma2epsilon0 (1 - zraizz^2 + R^2)
Onde:
  • sigma é a densidade de carga superficial do disco,
  • epsilon0 é a constante de permissividade do vácuo,
  • z é a distância do ponto onde queremos calcular o campo até o centro do disco,
  • R é o raio do disco.
Queremos encontrar uma aproximação desse campo quando z é muito maior que R, ou seja, z gg R.

Passo 3

Vamos analisar a expressão dentro dos parênteses:
1 - zraizz^2 + R^2
Podemos reescrever o denominador da fração:
raizz^2 + R^2 = z raiz1 + R^2z^2
Então, temos:
1 - zz raiz1 + R^2z^2 = 1 - 1raiz1 + R^2z^2

Passo 4

Agora, vamos aplicar a expansão binomial que mencionamos antes. Observe que R^2z^2 é muito pequeno porque z gg R, então podemos considerar a = R^2z^2 e n = -12. Assim:
raiz1 + R^2z^2 = (1 + R^2z^2)^12 approx 1 + 12 cdot R^2z^2
Portanto:
1raiz1 + R^2z^2 approx 1 - 12 cdot R^2z^2

Passo 5

Substituindo essa aproximação de volta na expressão do campo elétrico, temos:
E approx sigma2epsilon0 (1 - [1 - 12 cdot R^2z^2]) = sigma2epsilon0 cdot 12 cdot R^2z^2
Simplificando:
E approx sigma R^24epsilon0 z^2

Passo 6

Agora, vamos relacionar isso com uma carga puntiforme. A carga total Q do disco é dada por:
Q = sigma cdot pi R^2
Então, podemos escrever:
E approx sigma R^24epsilon0 z^2 = Q4epsilon0 pi z^2
Note que a expressão Q4epsilon0 pi z^2 é exatamente a expressão do campo elétrico de uma carga pontual Q a uma distância z, que é:
Epuntual = Q4piepsilon0 z^2

Resposta

Assim, mostramos que quando a distância z é muito maior que o raio R do disco, o campo elétrico do disco uniformemente carregado se comporta como o campo de uma carga puntiforme Q, ou seja:
E approx Q4piepsilon0 z^2

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