Utilizando uma expansão do tipo na, para , mostre que o campo elétrico de um disco uniformemente carregado se comporta como o de uma carga puntiforme, para distâncias muito maiores que o raio do disco.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um disco com carga distribuída de maneira uniforme, e queremos descobrir como o campo elétrico desse disco se comporta quando estamos muito longe dele, ou seja, quando a distância até o disco é muito maior que o raio do disco. Para isso, vamos usar uma expansão binomial do tipo , válida quando é muito menor que 1. O conteúdo que vamos usar aqui envolve conceitos de eletrostática, especialmente o campo elétrico de distribuições de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico de um disco uniformemente carregado no eixo perpendicular ao centro do disco é dado por:
Onde:
  • é a densidade de carga superficial do disco,
  • é a constante de permissividade do vácuo,
  • é a distância do ponto onde queremos calcular o campo até o centro do disco,
  • é o raio do disco.
Queremos encontrar uma aproximação desse campo quando é muito maior que , ou seja, .

Passo 3

Vamos analisar a expressão dentro dos parênteses:
Podemos reescrever o denominador da fração:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a expansão binomial que mencionamos antes. Observe que é muito pequeno porque , então podemos considerar e . Assim:
Portanto:

Passo 5

Substituindo essa aproximação de volta na expressão do campo elétrico, temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos relacionar isso com uma carga puntiforme. A carga total do disco é dada por:
Então, podemos escrever:
Note que a expressão é exatamente a expressão do campo elétrico de uma carga pontual a uma distância , que é:

Resposta

Assim, mostramos que quando a distância é muito maior que o raio do disco, o campo elétrico do disco uniformemente carregado se comporta como o campo de uma carga puntiforme , ou seja:

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