Calcule um valor aproximado para integral0^3 e^2 x d x utilizando a regra de Simpson com 6 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo numérico onde precisamos calcular uma aproximação para a integral definida de de 0 a 3. Para isso, vamos usar a Regra de Simpson com 6 subdivisões. Além disso, vamos estimar o erro dessa aproximação. Vamos precisar entender a Regra de Simpson, como aplicá-la com subdivisões pares, e como estimar o erro usando a fórmula apropriada.

Passo 2

Primeiro, dividimos o intervalo de integração [0, 3] em 6 subintervalos iguais. Para isso, calculamos o tamanho de cada subintervalo, chamado de h = b - an = 3 - 06 = 0,5 :

Passo 3

Agora, identifiquemos os pontos de interpolação, ou seja, os valores de xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, dots, 6 onde vamos calcular a função x0 &= 0 + 0 cdot 0,5 = 0 x1 &= 0 + 1 cdot 0,5 = 0,5 x2 &= 0 + 2 cdot 0,5 = 1,0 x3 &= 0 + 3 cdot 0,5 = 1,5 x4 &= 0 + 4 cdot 0,5 = 2,0 x5 &= 0 + 5 cdot 0,5 = 2,5 x6 &= 0 + 6 cdot 0,5 = 3,0 :
Calculando cada :

Passo 4

Calculamos os valores da função f(x0) &= e^0 = 1 f(x1) &= e^1 approx 2,7183 f(x2) &= e^2 approx 7,3891 f(x3) &= e^3 approx 20,0855 f(x4) &= e^4 approx 54,5982 f(x5) &= e^5 approx 148,4132 f(x6) &= e^6 approx 403,4288 em cada um desses pontos:

Passo 5

A Regra de Simpson para integrala^b f(x) dx approx h3 [ f(x0) + 4 sumi=1, , i ímpar^n-1 f(xi) + 2 sumi=2, , i par^n-2 f(xi) + f(xn) ] subdivisões pares é dada por:
Integral approx 0,53 [ f(x0) + 4(f(x1) + f(x3) + f(x5)) + 2(f(x2) + f(x4)) + f(x6) ] í
Vamos aplicar essa fórmula com nossos valores:

Passo 6

Substituímos os valores calculados:
Integral &approx 0,53 [ 1 + 4(2,7183 + 20,0855 + 148,4132) + 2(7,3891 + 54,5982) + 403,4288 ] &approx 0,53 [ 1 + 4(171,216) + 2(61,9873) + 403,4288 ] &approx 0,53 [ 1 + 684,864 + 123,9746 + 403,4288 ] &approx 0,53 cdot 1.2133 times 10^3 &approx 0,1667 times 1.2133 times 10^3 &approx 202,22

Passo 7

Para estimar o erro na Regra de Simpson, usamos a fórmula:
E <= M(b - a)^5180 n^4
onde f'(x) &= 2 e^2x f''(x) &= 4 e^2x f'''(x) &= 8 e^2x f''''(x) &= 16 e^2x é o máximo da quarta derivada de M = 16 e^6 approx 16 times 403,4288 approx 6454,861 no intervalo [0,3]. Primeiro, vamos encontrar as derivadas de E <= 6454,861 times (3)^5180 times 6^4 = 6454,861 times 243180 times 1296 approx 1.566.308,323233.280 approx 6,7 :
O máximo de no intervalo [0,3] é em :
Agora, substituímos na fórmula do erro:

Resposta

A aproximação da integral é aproximadamente e o erro estimado é de no máximo .

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