Calcule um valor aproximado para
utilizando a regra de Simpson com 6 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo numérico onde precisamos calcular uma aproximação para a integral definida de
de 0 a 3. Para isso, vamos usar a Regra de Simpson com 6 subdivisões. Além disso, vamos estimar o erro dessa aproximação. Vamos precisar entender a Regra de Simpson, como aplicá-la com subdivisões pares, e como estimar o erro usando a fórmula apropriada.
Passo 2
Primeiro, dividimos o intervalo de integração [0, 3] em 6 subintervalos iguais. Para isso, calculamos o tamanho de cada subintervalo, chamado de
:
Passo 3
Agora, identifiquemos os pontos de interpolação, ou seja, os valores de
onde vamos calcular a função
:
Calculando cada
:
Passo 4
Calculamos os valores da função
em cada um desses pontos:
Passo 5
A Regra de Simpson para
subdivisões pares é dada por:
Vamos aplicar essa fórmula com nossos valores:
Passo 6
Substituímos os valores calculados:
Passo 7
Para estimar o erro na Regra de Simpson, usamos a fórmula:
onde
é o máximo da quarta derivada de
no intervalo [0,3]. Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
:
O máximo de
no intervalo [0,3] é em
:
Agora, substituímos na fórmula do erro:
Resposta
A aproximação da integral é aproximadamente
e o erro estimado é de no máximo
.