Calcule um valor aproximado para utilizando a regra de Simpson com 6 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo numérico onde precisamos calcular uma aproximação para a integral definida de de 0 a 3. Para isso, vamos usar a Regra de Simpson com 6 subdivisões. Além disso, vamos estimar o erro dessa aproximação. Vamos precisar entender a Regra de Simpson, como aplicá-la com subdivisões pares, e como estimar o erro usando a fórmula apropriada.

Passo 2

Primeiro, dividimos o intervalo de integração [0, 3] em 6 subintervalos iguais. Para isso, calculamos o tamanho de cada subintervalo, chamado de :

Passo 3

Agora, identifiquemos os pontos de interpolação, ou seja, os valores de onde vamos calcular a função :
Calculando cada :

Passo 4

Calculamos os valores da função em cada um desses pontos:

Passo 5

A Regra de Simpson para subdivisões pares é dada por:
í
Vamos aplicar essa fórmula com nossos valores:

Passo 6

Substituímos os valores calculados:

Passo 7

Para estimar o erro na Regra de Simpson, usamos a fórmula:
onde é o máximo da quarta derivada de no intervalo [0,3]. Primeiro, vamos encontrar as derivadas de :
O máximo de no intervalo [0,3] é em :
Agora, substituímos na fórmula do erro:

Resposta

A aproximação da integral é aproximadamente e o erro estimado é de no máximo .

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Encontre parametrizações regulares para as superfícies especificando os seus domínios e mostre que são regulares.