Utilizando integral dupla calcular a área do quadrilátero de vértices (-3, 1), (-3,9), (5,2) e 5,7.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um quadrilátero formado pelos pontos (-3, 1), , (5, 2) e 5,7 usando integrais duplas. Pra isso, vamos precisar entender como são os limites de integração e usar um pouco de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar os pontos no plano cartesiano. Notamos que dois pares de pontos têm o mesmo valor de x: (-3, 1) com e (5, 2) com 5,7. Isso significa que temos dois lados verticais no quadrilátero, nas linhas e .

Passo 3

Para calcular a área usando uma integral dupla, precisamos definir os limites de integração. Vamos integrar em relação a x de a . Para cada valor de x, o y vai variar entre duas funções que representam as bordas superior e inferior do quadrilátero.

Passo 4

Vamos achar as equações das retas que formam as bordas não verticais do quadrilátero:
  • Borda de baixo: liga (-3, 1) a (5, 2). A inclinação ( m) é . A equação fica:
  • Borda de cima: liga a 5,7. A inclinação ( m) é . A equação fica:

Passo 5

Agora, montamos a integral para a área ( A):
Simplificando dentro da integral:
Integrando:
Calculando nos limites:
  • Em :
  • Em :
Subtraindo:

Resposta

A área do quadrilátero é 52 unidades de área.

Exercícios relacionados