Utilizando integral dupla calcular a área do quadrilátero de vértices
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área de um quadrilátero formado pelos pontos
,
,
e
usando integrais duplas. Pra isso, vamos precisar entender como são os limites de integração e usar um pouco de geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar os pontos no plano cartesiano. Notamos que dois pares de pontos têm o mesmo valor de
:
com
e
com
. Isso significa que temos dois lados verticais no quadrilátero, nas linhas
e
.
Passo 3
Para calcular a área usando uma integral dupla, precisamos definir os limites de integração. Vamos integrar em relação a
de
a
. Para cada valor de
, o
vai variar entre duas funções que representam as bordas superior e inferior do quadrilátero.
Passo 4
Vamos achar as equações das retas que formam as bordas não verticais do quadrilátero:
-
Borda de baixo: liga
a . A inclinação ( ) é . A equação fica: -
Borda de cima: liga
a . A inclinação ( ) é . A equação fica:
Passo 5
Agora, montamos a integral para a área (
):
Simplificando dentro da integral:
Integrando:
Calculando nos limites:
-
Em
: -
Em
:
Subtraindo:
Resposta
A área do quadrilátero é 52 unidades de área.