Calcule as integrais: integral cos (x^2) 2 x d x

Passo 1

Beleza, temos a integral . Vamos resolver isso usando cálculo integral, mais especificamente com a técnica de substituição (também conhecida como u-substituição). Essa técnica ajuda a simplificar integrais onde temos funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da função para ser nossa nova variável u = x^2 . Olhando para a integral, vemos que dentro do cosseno está . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a para fazer a substituição completa. Derivando temos:
Note que aparece exatamente na nossa integral original.

Passo 4

Com isso, podemos substituir na integral original:
integral 2x cos(x^2) , dx = integral cos(u) , du
Ficou mais simples, né?

Passo 5

Agora, resolvemos a integral integral cos(u) , du = sin(u) + C . Sabemos que a antiderivada de é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos para a variável original substituindo sin(x^2) + C :

Resposta

A integral é igual a .

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