Calcule as integrais impróprias:
c) integral0^infty e^-alpha x^2-e^-beta x^2x d x(alpha>0, beta>0)

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte integral imprópria para resolver:
integral0^infty e^-alpha x^2 - e^-beta x^2x , dx (alpha > 0, beta > 0)
Vamos usar conceitos de cálculo de integrais que envolvem exponenciais e mudanças de variável para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar t = x^2. Assim, quando x = 0, t = 0, e quando x to infty, t to infty. A derivada de t em relação a x é dt = 2x , dx, ou seja, dx = dt2x.

Passo 3

Agora, vamos substituir na integral original:
integral0^infty e^-alpha x^2 - e^-beta x^2x , dx = integral0^infty e^-alpha t - e^-beta traizt cdot dt2raizt = 12 integral0^infty e^-alpha t - e^-beta tt , dt

Passo 4

A gente reconhece que a integral integral0^infty e^-a t - e^-b tt , dt é uma forma conhecida que está relacionada à função logarítmica. Especificamente, essa integral é igual ao ln(b) - ln(a).

Passo 5

Aplicando isso à nossa expressão, temos:
12 integral0^infty e^-alpha t - e^-beta tt , dt = 12 ( ln(beta) - ln(alpha) ) = 12 ln( betaalpha )

Resposta

Portanto, o valor da integral é:
12 ln( betaalpha )

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