Utilizando o Método de Newton ou o Método de Newton Modificado, obtenha a raiz dos seguintes sistemas não lineares:
c) rl3 x1^2-x2^3 & =4 x1^2+x1 x2^3 & =9, com x^(0)=(2,0 ; 2,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema não linear usando o Método de Newton. O problema nos dá duas equações com duas incógnitas, e , e um palpite inicial para começar, que é . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais das funções envolvidas, montar a matriz jacobiana e iterar o processo até encontrar uma solução próxima das raízes do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as duas funções do sistema:
f1(x1, x2) = 3x1^2 - x2^3 - 4 f2(x1, x2) = x1^2 + x1x2^3 - 9
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que zeram ambas as funções.

Passo 3

Agora, vamos calcular a matriz jacobiana, que é composta pelas derivadas parciais das funções em relação a cada variável:
J(x1, x2) = partial f1partial x1 & partial f1partial x2 partial f2partial x1 & partial f2partial x2 = 6x1 & -3x2^2 2x1 + x2^3 & 3x1x2^2

Passo 4

Vamos iniciar a primeira iteração com o palpite inicial F(x^(0)) = 3(2)^2 - (2.5)^3 - 4 (2)^2 + 2(2.5)^3 - 9 = 12 - 15.625 - 4 = -7.625 4 + 31.25 - 9 = 26.25 .
Calculamos J(x^(0)) = 6(2) & -3(2.5)^2 2(2) + (2.5)^3 & 3(2)(2.5)^2 = 12 & -18.75 4 + 15.625 & 3 cdot 2 cdot 6.25 = 12 & -18.75 19.625 & 37.5 :
Calculamos :

Passo 5

Agora, precisamos resolver o sistema linear 12 & -18.75 19.625 & 37.5 De:
De
Resolvendo esse sistema, encontramos:

Passo 6

Atualizamos os valores de x^(1) = x^(0) + De:

Passo 7

Vamos realizar uma segunda iteração com F(x^(1)) = 3(1.5)^2 - (2)^3 - 4 (1.5)^2 + 1.5(2)^3 - 9 = 6.75 - 8 - 4 = -5.25 2.25 + 12 - 9 = 5.25 .
Calculamos J(x^(1)) = 6(1.5) & -3(2)^2 2(1.5) + (2)^3 & 3(1.5)(2)^2 = 9 & -12 3 + 8 & 3 cdot 1.5 cdot 4 = 9 & -12 11 & 18 :
Calculamos :

Passo 8

Resolvemos o sistema 9 & -12 11 & 18 De:
De
Resolvendo, encontramos:

Passo 9

Atualizamos novamente:
x^(2) = x^(1) + De
Percebemos que voltamos ao ponto inicial, indicando que o método está oscilando e não está convergindo para a solução.

Resposta

O Método de Newton não está convergindo para uma raiz com o palpite inicial fornecido , pois as iterações estão oscilando entre e sem se aproximar de uma solução estável.

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