Utilizando o Método de Newton ou o Método de Newton Modificado, obtenha a raiz dos seguintes sistemas não lineares:
a) lx1=0,7 sen(x1)+0,2 cos (x2) x2=0,7 cos (x1)-0,2 sen(x2), com x^(0)=(0,5 ; 0,5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não lineares usando o Método de Newton! A gente tem um sistema com duas equações e duas incógnitas ( x1 e x2). O Método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de sistemas não lineares, ou seja, os valores de x1 e x2 que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos precisar calcular derivadas parciais e montar a matriz jacobiana do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma que todas as variáveis fiquem do lado esquerdo e igualadas a zero:
F1(x1, x2) = x1 - 0,7 sin(x1) - 0,2 cos(x2) = 0 F2(x1, x2) = x2 - 0,7 cos(x1) + 0,2 sin(x2) = 0
Isso facilita a aplicação do Método de Newton, que trabalha com funções igualadas a zero.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a matriz jacobiana do sistema. A jacobiana é uma matriz composta pelas derivadas parciais das funções F1 e F2 em relação às variáveis x1 e x2:
J = partial F1partial x1 & partial F1partial x2 partial F2partial x1 & partial F2partial x2
Vamos calcular cada derivada:
partial F1partial x1 = 1 - 0,7 cos(x1)
partial F1partial x2 = 0,2 sin(x2)
partial F2partial x1 = 0,7 sin(x1)
partial F2partial x2 = 1 + 0,2 cos(x2)
Então, a matriz jacobiana fica:
J = 1 - 0,7 cos(x1) & 0,2 sin(x2) 0,7 sin(x1) & 1 + 0,2 cos(x2)

Passo 4

Vamos começar com a aproximação inicial fornecida: x^(0) = (0,5; 0,5). Primeiro, vamos calcular as funções F1 e F2 nesse ponto:
F1(0,5, 0,5) = 0,5 - 0,7 sin(0,5) - 0,2 cos(0,5)
F2(0,5, 0,5) = 0,5 - 0,7 cos(0,5) + 0,2 sin(0,5)
Calculando os valores:
sin(0,5) approx 0,4794
cos(0,5) approx 0,8776
Substituindo:
F1(0,5, 0,5) = 0,5 - 0,7 times 0,4794 - 0,2 times 0,8776 approx 0,5 - 0,3356 - 0,1755 approx -0,0111
F2(0,5, 0,5) = 0,5 - 0,7 times 0,8776 + 0,2 times 0,4794 approx 0,5 - 0,6143 + 0,0959 approx -0,0184
Então, temos:
F(x^(0)) = -0,0111 -0,0184

Passo 5

Agora, vamos calcular a matriz jacobiana J no ponto x^(0) = (0,5; 0,5):
J = 1 - 0,7 cos(0,5) & 0,2 sin(0,5) 0,7 sin(0,5) & 1 + 0,2 cos(0,5)
Substituindo os valores de seno e cosseno:
J = 1 - 0,7 times 0,8776 & 0,2 times 0,4794 0,7 times 0,4794 & 1 + 0,2 times 0,8776 approx 1 - 0,6143 & 0,0959 0,3356 & 1 + 0,1755 = 0,3857 & 0,0959 0,3356 & 1,1755

Passo 6

Agora, precisamos resolver o sistema linear J cdot De para encontrar a correção De:
0,3857 & 0,0959 0,3356 & 1,1755 cdot De
Vamos chamar a matriz jacobiana de A e o vetor do lado direito de b:
A = 0,3857 & 0,0959 0,3356 & 1,1755 , b = 0,0111 0,0184
Para resolver A cdot De, podemos usar métodos de álgebra linear, como a regra de Cramer ou a inversa da matriz. Vamos calcular o determinante de A:
det(A) = (0,3857)(1,1755) - (0,0959)(0,3356) approx 0,4530 - 0,0322 approx 0,4208
Agora, calculamos a matriz inversa de A:
A^-1 = 1det(A) 1,1755 & -0,0959 -0,3356 & 0,3857 approx 10,4208 1,1755 & -0,0959 -0,3356 & 0,3857 approx 2,793 & -0,228 -0,798 & 0,916
Multiplicando A^-1 por b:
De

Passo 7

Com a correção De, atualizamos a aproximação inicial para obter uma nova aproximação x^(1):
x^(1) = x^(0) + De

Resposta

Após uma iteração do Método de Newton, a aproximação da raiz do sistema é x^(1) = (0,5268; , 0,50797).

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