Utilizando o Método de Newton ou o Método de Newton Modificado, obtenha a raiz dos seguintes sistemas não lineares:
a)
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações não lineares usando o Método de Newton! A gente tem um sistema com duas equações e duas incógnitas (
e
). O Método de Newton é uma técnica para encontrar raízes de sistemas não lineares, ou seja, os valores de
e
que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos precisar calcular derivadas parciais e montar a matriz jacobiana do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema de equações de forma que todas as variáveis fiquem do lado esquerdo e igualadas a zero:
Isso facilita a aplicação do Método de Newton, que trabalha com funções igualadas a zero.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a matriz jacobiana do sistema. A jacobiana é uma matriz composta pelas derivadas parciais das funções
e
em relação às variáveis
e
:
Vamos calcular cada derivada:
Então, a matriz jacobiana fica:
Passo 4
Vamos começar com a aproximação inicial fornecida:
. Primeiro, vamos calcular as funções
e
nesse ponto:
Calculando os valores:
Substituindo:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular a matriz jacobiana
no ponto
:
Substituindo os valores de seno e cosseno:
Passo 6
Agora, precisamos resolver o sistema linear
para encontrar a correção
:
Vamos chamar a matriz jacobiana de
e o vetor do lado direito de
:
Para resolver
, podemos usar métodos de álgebra linear, como a regra de Cramer ou a inversa da matriz. Vamos calcular o determinante de
:
Agora, calculamos a matriz inversa de
:
Multiplicando
por
:
Passo 7
Com a correção
, atualizamos a aproximação inicial para obter uma nova aproximação
:
Resposta
Após uma iteração do Método de Newton, a aproximação da raiz do sistema é
.