Utilizando o Método de Newton ou o Método de Newton Modificado, obtenha a raiz dos seguintes sistemas não lineares:
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações não lineares e precisamos encontrar a raiz desse sistema usando o Método de Newton ou o Método de Newton Modificado. O sistema é:
Vamos precisar do Método de Newton para sistemas, que envolve calcular a matriz Jacobi e resolver um sistema linear em cada iteração para aproximar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções do sistema:
O Método de Newton para sistemas utiliza a seguinte iteração:
Onde
é a matriz Jacobi, e
é o vetor das funções.
Passo 3
Vamos calcular a matriz Jacobi
, que é composta pelas derivadas das funções em relação às variáveis
e
:
No ponto inicial
:
Passo 4
Agora, vamos verificar se a matriz Jacobi
é invertível. Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, a matriz é singular e não pode ser invertida. Isso significa que o Método de Newton padrão não pode ser aplicado diretamente. Portanto, precisamos usar o Método de Newton Modificado.
Passo 5
No Método de Newton Modificado, em vez de recalcular a matriz Jacobi em cada iteração, fixamos a matriz Jacobi no ponto inicial. Ou seja, mantemos
constante durante todo o processo.
Vamos resolver o sistema linear
para encontrar a correção
.
Primeiro, calculamos
:
Então, resolvemos:
[
\cdot
]
Passo 6
Observando o sistema linear acima, vemos que as duas equações são iguais:
Portanto, resolvemos para
:
E como não há informação para
devido à singularidade da matriz, assumimos
.
Passo 7
Atualizamos a solução:
Passo 8
Vamos verificar se
é uma raiz aproximada do sistema substituindo
:
Como as funções ainda não são zero, precisamos fazer mais uma iteração.
Passo 9
Calculamos
novamente usando a mesma matriz Jacobi fixa:
Resolvemos:
[
\cdot
]
Novamente, temos:
Assumimos
.
Atualizamos a solução:
Passo 10
Vamos verificar novamente:
Ainda não atingimos uma raiz exata, mas percebemos que estamos se aproximando de
.
Resposta
Após algumas iterações do Método de Newton Modificado, a raiz do sistema é aproximadamente
.