Utilizando o Método de Newton ou o Método de Newton Modificado, obtenha a raiz dos seguintes sistemas não lineares:
d) lx1^2+2 x2^2-1=0 x1^2+5 x2^2-1=0, com x^(0)=(2,0 ; 2,0)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações não lineares e precisamos encontrar a raiz desse sistema usando o Método de Newton ou o Método de Newton Modificado. O sistema é:
l x1^2 + 2 x2^2 -1=0 x1^2 + 5 x2^2 -1=0 , com x^(0)=(2,0)
Vamos precisar do Método de Newton para sistemas, que envolve calcular a matriz Jacobi e resolver um sistema linear em cada iteração para aproximar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções do sistema:
f1(x1, x2) = x1^2 + 2 x2^2 -1
f2(x1, x2) = x1^2 + 5 x2^2 -1
O Método de Newton para sistemas utiliza a seguinte iteração:
x^(k+1) = x^(k) - J^-1(x^(k)) cdot F(x^(k))
Onde é a matriz Jacobi, e é o vetor das funções.

Passo 3

Vamos calcular a matriz Jacobi J = partial f1partial x1 & partial f1partial x2 partial f2partial x1 & partial f2partial x2 = 2x1 & 4x2 2x1 & 10x2 , que é composta pelas derivadas das funções em relação às variáveis J(x^(0)) = 4 & 0 4 & 0 e :
No ponto inicial :

Passo 4

Agora, vamos verificar se a matriz Jacobi det(J) = (4)(0) - (4)(0) = 0 é invertível. Calculando o determinante:
Como o determinante é zero, a matriz é singular e não pode ser invertida. Isso significa que o Método de Newton padrão não pode ser aplicado diretamente. Portanto, precisamos usar o Método de Newton Modificado.

Passo 5

No Método de Newton Modificado, em vez de recalcular a matriz Jacobi em cada iteração, fixamos a matriz Jacobi no ponto inicial. Ou seja, mantemos F(x^(0)) = (2)^2 + 2(0)^2 -1 (2)^2 + 5(0)^2 -1 = 4 -1 4 -1 = 3 3 constante durante todo o processo.
Vamos resolver o sistema linear 4 & 0 4 & 0 cdot De para encontrar a correção .
Primeiro, calculamos :
Então, resolvemos:

[

\cdot


]

Passo 6

Observando o sistema linear acima, vemos que as duas equações são iguais:
4 De
4 De
Portanto, resolvemos para De:
E como não há informação para devido à singularidade da matriz, assumimos .

Passo 7

Atualizamos a solução:
x^(1) = x^(0) + De

Passo 8

Vamos verificar se f1(1,25, 0) = (1,25)^2 + 2(0)^2 -1 = 1,5625 -1 = 0,5625 neq 0 é uma raiz aproximada do sistema substituindo f2(1,25, 0) = (1,25)^2 + 5(0)^2 -1 = 1,5625 -1 = 0,5625 neq 0 :
Como as funções ainda não são zero, precisamos fazer mais uma iteração.

Passo 9

Calculamos F(x^(1)) = (1,25)^2 + 2(0)^2 -1 (1,25)^2 + 5(0)^2 -1 = 1,5625 -1 1,5625 -1 = 0,5625 0,5625 novamente usando a mesma matriz Jacobi fixa:
4 & 0 4 & 0 cdot De
Resolvemos:

[
4 De
\cdot
x^(2) = x^(1) + De


]
Novamente, temos:
Assumimos .
Atualizamos a solução:

Passo 10

Vamos verificar novamente:
f1(1,109375, 0) = (1,109375)^2 + 2(0)^2 -1 approx 1,2314453125 -1 = 0,2314453125 neq 0
f2(1,109375, 0) = (1,109375)^2 + 5(0)^2 -1 approx 1,2314453125 -1 = 0,2314453125 neq 0
Ainda não atingimos uma raiz exata, mas percebemos que estamos se aproximando de .

Resposta

Após algumas iterações do Método de Newton Modificado, a raiz do sistema é aproximadamente .

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