Utilizando o modelo de Bohr, deduza as equações que preveem o raio atômico do hidrogenio e o nivél energético quando este átomo está com seu elétron excitado no terceiro nível energético.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar o modelo de Bohr para deduzir as equações que determinam o raio atômico do hidrogênio e o nível energético quando o elétron está no terceiro nível energético. Pra resolver isso, vamos precisar entender como o modelo de Bohr funciona, especialmente as fórmulas que ele nos dá para o raio dos elétrons e para a energia dos níveis. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos falar do raio atômico no modelo de Bohr. Bohr propôs que os elétrons giram em órbitas circulares ao redor do núcleo sem perder energia. O raio dessa órbita depende de alguns fatores, como a carga do núcleo e o nível de energia (n) em que o elétron está. A fórmula que Bohr derivou para o raio da órbita é:
rn = n^2 cdot a0
Onde:
  • $ r_n $ é o raio da órbita no nível n,
  • $ n $ é o número quântico principal (1, 2, 3, …),
  • $ a_0 $ é o raio de Bohr, que é aproximadamente $ 5,29 \times 10^{-11} $ metros.

Passo 3

Agora, vamos determinar o nível energético do elétron quando ele está no terceiro nível (n=3). No modelo de Bohr, a energia total do elétron em uma órbita é dada por:
En = -13,6 , eVn^2
Aqui:
  • $ E_n $ é a energia no nível n,
  • $ 13,6 , eV $ é a energia de ionização do hidrogênio (energia necessária para remover o elétron),
  • $ n $ é novamente o número quântico principal.

Passo 4

Vamos aplicar essas fórmulas para encontrar o raio atômico e a energia no terceiro nível ($ n = 3 $).
Primeiro, para o raio:
n = 3
Substituindo o valor de $ a_0 $:
r3 = 3^2 cdot a0 = 9 cdot a0

Passo 5

Agora, para a energia no terceiro nível:
E3 = -13,6 , eV3^2 = -13,6 , eV9 approx -1,51 , eV
Isso significa que o elétron no terceiro nível tem uma energia de aproximadamente -1,51 eV.

Resposta

Então, utilizando o modelo de Bohr:
  • O raio atômico do hidrogênio no terceiro nível é aproximadamente $ 4,76 \times 10^{-10} $ metros.
  • A energia do elétron no terceiro nível é cerca de $ -1,51 $ eV.

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