Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(j) (x^(x^x))'

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função (x^(x^x))' usando a regra da cadeia. Isso faz parte do estudo de derivadas de funções compostas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que têm potências de potências e usar algumas regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A função dada é:
Como lidar com essa potência de potência pode ser complicado, vamos usar logaritmos para simplificar. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz . Aplicando isso, obtemos:
Isso nos ajuda a transformar a função original em uma forma que é mais fácil de derivar.

Passo 4

Vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a x. Lembre-se que, quando derivamos , usamos a regra da cadeia:
Aqui, representa a derivada de y em relação a x.

Passo 5

Agora, precisamos calcular a derivada do lado direito, que é um produto de duas funções: x^x e ln x. Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de é . Aplicando isso:

Passo 6

Precisamos agora das derivadas individuais:
  1. A derivada de x^x: Para derivar x^x, usamos a fórmula .
  2. A derivada de ln x: Sabemos que .
Substituindo essas derivadas na equação:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Agora, voltando à equação original da derivada:
Para isolar , multiplicamos ambos os lados por y:
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de (x^(x^x))' é:

Exercícios relacionados

utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y)=y i+x j,
C é o arco da curva y=x^4-x^3 de (1,0) a (2,8)
Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (x + y^2) i + (2xy + y^2) j
utilize a parte (a) para calcular integralC F cdot d r ao longo da curva dada C.
F(x, y, z)=4 x e^z i+cos y j+2 x^2 e^z k,
C: r(t)=t i+t^2 j+t^4 k, 0 <= t <= 1
Calcule a derivada d/y d/x :
(a) y = x arctg(x)