Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a derivada da função
usando a regra da cadeia. Isso faz parte do estudo de derivadas de funções compostas e exponenciais. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções que têm potências de potências e usar algumas regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A função dada é:
Como lidar com essa potência de potência pode ser complicado, vamos usar logaritmos para simplificar. Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, temos:
Passo 3
Agora, vamos usar a propriedade dos logaritmos que diz
. Aplicando isso, obtemos:
Isso nos ajuda a transformar a função original em uma forma que é mais fácil de derivar.
Passo 4
Vamos diferenciar ambos os lados dessa equação em relação a
. Lembre-se que, quando derivamos
, usamos a regra da cadeia:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Agora, precisamos calcular a derivada do lado direito, que é um produto de duas funções:
e
. Vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
. Aplicando isso:
Passo 6
Precisamos agora das derivadas individuais:
- A derivada de
: Para derivar , usamos a fórmula . - A derivada de
: Sabemos que .
Substituindo essas derivadas na equação:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Agora, voltando à equação original da derivada:
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
é o arco da curva
de
a
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
Calcule a derivada
:
(a)
(a)