utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
é o arco da curva
de
a
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
ao longo da curva
, onde
e
é o arco da curva
de
a
. Para isso, vamos utilizar o conceito de campo conservativo e potenciais escalares.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial
tal que
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos encontrar a função potencial
. Sabemos que:
Integrando
em relação a
, obtemos:
Onde
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
para igualar a segunda equação:
Isso implica que
, portanto
é uma constante. Podemos considerar
para simplificar.
Passo 5
Então, a função potencial é:
Como o campo
é conservativo, a integral de linha depende apenas dos valores da função potencial nos pontos finais.
Passo 6
Calculamos a integral usando a função potencial:
Substituindo os valores:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
Exercícios relacionados
Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Esboce o gráfico das seguintes funções:
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(j)
(j)
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,