Determine se
é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o campo vetorial
é conservativo. Se for, precisamos encontrar uma função
tal que
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente campos vetoriais conservativos e gradientes. Vamos precisar verificar se as condições para conservatividade são atendidas e, se sim, integrar para achar a função potencial
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função
tal que
. Para isso, uma condição necessária (e suficiente em domínios simplesmente conexos) é que as derivadas parciais cruzadas sejam iguais, ou seja:
Vamos calcular essas derivadas para o nosso campo:
Como
, a condição é satisfeita. Portanto,
é um campo vetorial conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que
é conservativo, vamos encontrar a função potencial
tal que
. Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função arbitrária de
que surge da constante de integração.
Agora, vamos diferenciar
em relação a
e igualar à segunda equação para encontrar
:
Comparando os dois lados:
Integrando
em relação a
:
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Como
é uma constante, podemos descartá-la para simplificação.
Resposta
A função potencial é
.
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico das seguintes funções:
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
utilize a parte (a) para calcular
ao longo da curva dada
.
,
é o arco da curva
de
a
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(j)
(j)