Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas: $\left(\left(1+\cos ^{2} x\right)^{\operatorname{sen} x}\right)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a derivada da função
usando a regra da cadeia. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções compostas. Vamos precisar conhecer a regra da cadeia e algumas propriedades das funções trigonométricas para resolver.
Passo 2
Primeiro, para facilitar a derivação, vamos usar logaritmos naturais. Ao aplicar o logaritmo na função, conseguimos transformar a exponenciação em multiplicação, o que simplifica bastante a diferenciação. Então, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 3
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a
. Lembrando que
é uma função de
, usamos a derivada implícita no lado esquerdo:
A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
:
Passo 4
No lado direito, temos um produto de duas funções:
e
. Usamos a regra do produto para derivar:
Passo 5
Vamos agora derivar
. Para isso, usamos a regra da cadeia novamente:
Substituindo de volta:
Passo 6
Finalmente, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A derivada da função é: