Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas: $\left(\left(1+\cos ^{2} x\right)^{\operatorname{sen} x}\right)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente calcular a derivada da função usando a regra da cadeia. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções compostas. Vamos precisar conhecer a regra da cadeia e algumas propriedades das funções trigonométricas para resolver.

Passo 2

Primeiro, para facilitar a derivação, vamos usar logaritmos naturais. Ao aplicar o logaritmo na função, conseguimos transformar a exponenciação em multiplicação, o que simplifica bastante a diferenciação. Então, tomamos o logaritmo natural de ambos os lados:

Passo 3

Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a . Lembrando que é uma função de , usamos a derivada implícita no lado esquerdo:
A derivada de em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a :

Passo 4

No lado direito, temos um produto de duas funções: e . Usamos a regra do produto para derivar:

Passo 5

Vamos agora derivar . Para isso, usamos a regra da cadeia novamente:
Substituindo de volta:

Passo 6

Finalmente, isolamos multiplicando ambos os lados por :
Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada da função é:

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