Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas: d/dt ((t - 1/t)^(3/2))

Passo 1

Então, galera! Vamos resolver a derivada da função em relação a . Aqui a gente vai usar a Regra da Cadeia, que é uma técnica fundamental em cálculo para derivar funções compostas. Para isso, precisamos entender como identificar as funções internas e externas dentro da expressão e aplicar a regra direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função composta. A função que queremos derivar é:
Aqui, a função externa é e a função interna é . A Regra da Cadeia nos ajuda a derivar multiplicando a derivada da função externa pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra da Cadeia. A regra diz que se , então a derivada de em relação a é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Primeiro, vamos derivar a função externa em relação a . Usando a Regra do Poder, que diz que , temos:
Substituindo :

Passo 5

Agora, vamos derivar a função interna em relação a . Derivando termo a termo:

Passo 6

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia multiplicando as derivadas que encontramos:

Passo 7

Podemos simplificar um pouco a expressão final, mas ela já está correta. Ficamos com:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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