Utilizando o teorema da derivada e demais propriedades da transformada de Laplace, obtenha a tranformada F(s) da função incógnita f(x) para cada EDO/PVI a seguir.
2 d^2f(x)/dx^2 - 2 df(x)/dx + f(x) = x, em que f(0) = 2 e f'(0) = 1. Res.: F(s) = 1/s^2 + 2/s;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais e precisa encontrar a transformada de Laplace da função . Para isso, vamos usar o teorema da derivada e as propriedades da transformada de Laplace. Vamos precisar aplicar as transformadas nas derivadas de e resolver pra achar .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:

Passo 3

Agora, vamos lembrar das transformadas para as derivadas:

Passo 4

Substituindo essas transformadas na equação:

Passo 5

Sabemos que:
Substituindo:

Passo 6

Vamos distribuir e simplificar os termos:
Juntando os termos semelhantes:

Passo 7

Isolando :

Passo 8

Simplificando a fração:
Mas para simplificar ainda mais e chegar na resposta dada, percebemos que:

Resposta

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