Calcule integral duplaS rot F cdot n d S, onde F(x, y, z)=(y, 2 x, x y z), S é formada pelas cinco faces do cubo [0,2] times[0,2] times[0,2] que não estão no plano x y com n exterior a S. Utilizando o teorema de Gauss

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície , onde . A superfície é composta pelas cinco faces do cubo que não estão no plano , e o vetor normal é exterior à . Vamos usar o Teorema de Gauss para resolver isso. Para isso, precisamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Gauss para transformar a integral de superfície em uma integral de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, representado por rot F = nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x, partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) ou , mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. Para calcular o rotacional de , usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais necessárias:
  • rot F = ( xz - 0,, 0 - yz,, 2 - 1 ) = (xz, -yz, 1)
Substituindo na fórmula do rotacional:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Gauss, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse rotacional. A formula do Teorema de Gauss para o rotacional é:
integral duplaS rot F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot (rot F) , dV
Onde nabla cdot (nabla times F) = 0 é o volume delimitado pela superfície . Porém, sabemos que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Isso significa que a integral de volume será zero.

Passo 5

Portanto, concluímos que:
integral duplaS rot F cdot n , dS = 0

Resposta

0

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