Calcule
, onde
é formada pelas cinco faces do cubo
que não estão no plano
com
exterior a
. Utilizando o teorema de Gauss
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é composta pelas cinco faces do cubo
que não estão no plano
, e o vetor normal
é exterior à
. Vamos usar o Teorema de Gauss para resolver isso. Para isso, precisamos entender o que é o rotacional de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Gauss para transformar a integral de superfície em uma integral de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o rotacional de um campo vetorial. O rotacional, representado por
ou
, mede a tendência de rotação do campo vetorial em torno de um ponto. Para calcular o rotacional de
, usamos a seguinte fórmula:
Vamos calcular cada componente.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais necessárias:
Substituindo na fórmula do rotacional:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema de Gauss, que relaciona a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial com a integral de volume da divergência desse rotacional. A formula do Teorema de Gauss para o rotacional é:
Onde
é o volume delimitado pela superfície
. Porém, sabemos que a divergência do rotacional de qualquer campo vetorial é sempre zero:
Isso significa que a integral de volume será zero.
Passo 5
Portanto, concluímos que: