Calcule os seguintes limites:
Passo 1
Beleza, então o exercício pede para calcular o limite
. Estamos lidando com cálculo de limites, especificamente com uma função que envolve a tangente e exponenciação. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e logaritmos para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o limite de
:
Para facilitar, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados:
Passo 3
Agora, vamos simplificar
. Sabemos que:
Então,
Passo 4
Vamos analisar cada termo separadamente quando
se aproxima de
:
-
quando é pequeno. -
quando é pequeno.
Portanto,
Então,
Passo 5
Substituindo de volta na expressão de
:
Podemos separar isso em:
Passo 6
Agora, vamos avaliar cada parte:
-
tende a quando tende a . -
também tende a quando tende a , já que cresce mais devagar que decresce.
Portanto,
Resposta
Assim,
. Portanto, o limite é igual a 1.
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Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
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ou
.
(7-19) Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Utilizando o teste da comparação ou comparaçāo no limite para concluir se as séries convergem ou divergem
i)
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