Calcule os seguintes limites:

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para calcular o limite . Estamos lidando com cálculo de limites, especificamente com uma função que envolve a tangente e exponenciação. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite de :
Para facilitar, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados:

Passo 3

Agora, vamos simplificar . Sabemos que:
Então,

Passo 4

Vamos analisar cada termo separadamente quando se aproxima de :
  • quando é pequeno.
  • quando é pequeno.
Portanto,
Então,

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de :
Podemos separar isso em:

Passo 6

Agora, vamos avaliar cada parte:
  • tende a quando tende a .
  • também tende a quando tende a , já que cresce mais devagar que decresce.
Portanto,

Resposta

Assim, . Portanto, o limite é igual a 1.

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Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
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i)