Calcule os seguintes limites: lim x 0^+(tg 2 x)^x

Passo 1

Beleza, então o exercício pede para calcular o limite . Estamos lidando com cálculo de limites, especificamente com uma função que envolve a tangente e exponenciação. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de limites e logaritmos para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite de L = lim x 0^+(tan 2x)^x :
ln L = lim x 0^+ x cdot ln(tan 2x)
Para facilitar, vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados:

Passo 3

Agora, vamos simplificar tan 2x = sin 2xcos 2x . Sabemos que:
ln(tan 2x) = ln(sin 2x) - ln(cos 2x)
Então,

Passo 4

Vamos analisar cada termo separadamente quando ln(sin 2x) approx ln(2x) se aproxima de ln(cos 2x) approx ln(1) = 0 :
  • ln(tan 2x) approx ln(2x) quando é pequeno.
  • quando é pequeno.
Portanto,
Então,

Passo 5

Substituindo de volta na expressão de ln L = lim x 0^+ x cdot ln(2x) :
ln L = lim x 0^+ x cdot ln 2 + x cdot ln x
Podemos separar isso em:

Passo 6

Agora, vamos avaliar cada parte:
  • ln L = 0 + 0 = 0 tende a quando tende a .
  • também tende a quando tende a , já que cresce mais devagar que decresce.
Portanto,

Resposta

Assim, . Portanto, o limite é igual a 1.

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