Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha
.)
e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais
e
. Vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando-as em álgebra mais simples.
Passo 2
Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Lembrando que:
Passo 3
Substituindo as condições iniciais
e
:
Aqui usamos que
e
.
Passo 4
Fatorando
na equação:
Simplificando o denominador:
Passo 5
Isolando
:
Vamos dividir as frações:
Passo 6
Utilizamos frações parciais para decompor
:
Resolvendo para os coeficientes A, B, C e D, encontramos os valores necessários.
Passo 7
Após encontrar os coeficientes, escrevemos
de forma simplificada e aplicamos a Transformada de Laplace inversa:
Usamos tabelas de Laplace e propriedades para encontrar a expressão no domínio do tempo.
Resposta
A solução da equação diferencial é: