Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha t ≥ 0.) ddot(x) + 2 dot(x) + x = t + e^t, x(0) = 0 e dot(x)(0) = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
com condições iniciais e . Vamos usar a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta poderosa para resolver equações diferenciais, transformando-as em álgebra mais simples.

Passo 2

Aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação:
Lembrando que:

Passo 3

Substituindo as condições iniciais e :
Aqui usamos que e .

Passo 4

Fatorando na equação:
Simplificando o denominador:

Passo 5

Isolando :
Vamos dividir as frações:

Passo 6

Utilizamos frações parciais para decompor :
Resolvendo para os coeficientes A, B, C e D, encontramos os valores necessários.

Passo 7

Após encontrar os coeficientes, escrevemos de forma simplificada e aplicamos a Transformada de Laplace inversa:
Usamos tabelas de Laplace e propriedades para encontrar a expressão no domínio do tempo.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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