Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha .)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O problema é encontrar a função que satisfaz a equação com a condição inicial . Para isso, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e em funções como o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada , onde é a transformada de . Então, aplicando a transformada:
Passo 3
Substituindo as transformadas conhecidas:
Como , simplificamos para:
Passo 4
Agora, vamos factorizar :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :
Passo 5
Precisamos encontrar a transformada inversa para obter . Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos: