Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha t ≥ 0.) x' + 4x = cos(t), x(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a transformada de Laplace. O problema é encontrar a função que satisfaz a equação com a condição inicial . Para isso, vamos precisar saber como aplicar a transformada de Laplace em derivadas e em funções como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembre-se que a transformada de Laplace de uma derivada , onde é a transformada de . Então, aplicando a transformada:

Passo 3

Substituindo as transformadas conhecidas:
Como , simplificamos para:

Passo 4

Agora, vamos factorizar :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Precisamos encontrar a transformada inversa para obter . Vamos decompor em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Expandindo:
Agrupando termos semelhantes:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos:
Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. Substituindo na terceira equação: => .
  3. Substituindo na segunda equação: => => .
  4. Então, .
  5. E .

Passo 7

Substituindo , e de volta na decomposição:
Agora, aplicamos a transformada inversa:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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