Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei a(t) = a0 * 2^(-t / h), onde:
  • a(t) indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo t ≥ 0;
  • a0 indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando t = 0, e
  • h é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
    Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
    a) Determine a meia vida do material, utilizando log2(5) ≈ 2,3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o decaimento de isótopos radioativos seguindo a lei . Aqui, a(t) é a quantidade de átomos após um tempo t, a0 é a quantidade inicial, e h é a meia-vida do isótopo. A gente precisa descobrir qual é a meia-vida h sabendo que um quinto dos isótopos decaíram após 3 anos. Vamos usar logaritmos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que se um quinto dos isótopos decaíram, isso significa que restaram 4/5 da quantidade inicial. Então, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa equação. Como a0 está em ambos os lados, podemos dividi-los e ficar com:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos tirar o logaritmo na base 2 dos dois lados. Isso nos ajuda a isolar h. Aplicando o logaritmo:

Passo 5

Sabemos que . Vamos calcular :

Passo 6

Substituindo esse valor na equação:
Agora, vamos resolver para h.

Passo 7

Multiplicando os dois lados por h e dividindo por , temos:

Resposta

A meia-vida do material é de 10 anos.

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