Em uma amostra de material contendo isótopos radioativos, a quantidade de tais isótopos decai exponencialmente, de acordo com a lei
, onde:
-
indica a quantidade de átomos do isótopo, transcorrido tempo
;
-
indica a quantidade inicial de átomos do isótopo, quando
, e
-
é a meia vida do isótopo. Ou seja, o tempo necessário para que metade de uma amostra radioativa decaia.
Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
a) Determine a meia vida do material, utilizando
.
Em um experimento, determina-se que um quinto dos isótopos radioativos em certa amostra decaíram após três anos.
a) Determine a meia vida do material, utilizando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o decaimento de isótopos radioativos seguindo a lei
. Aqui,
é a quantidade de átomos após um tempo
,
é a quantidade inicial, e
é a meia-vida do isótopo. A gente precisa descobrir qual é a meia-vida
sabendo que um quinto dos isótopos decaíram após 3 anos. Vamos usar logaritmos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que se um quinto dos isótopos decaíram, isso significa que restaram
da quantidade inicial. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos simplificar essa equação. Como
está em ambos os lados, podemos dividi-los e ficar com:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos tirar o logaritmo na base 2 dos dois lados. Isso nos ajuda a isolar
. Aplicando o logaritmo:
Passo 5
Sabemos que
. Vamos calcular
:
Passo 6
Substituindo esse valor na equação:
Agora, vamos resolver para
.
Passo 7
Multiplicando os dois lados por
e dividindo por
, temos:
Resposta
A meia-vida do material é de 10 anos.