Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha
.)
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a equação
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e saber lidar com funções exponenciais e trigonométricas na transformada.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a Transformada de Laplace da segunda derivada
é
. Como
e
, essa parte fica só
.
Passo 3
Agora, a Transformada de Laplace de
é
. E para o lado direito, a Transformada de Laplace de
é
. Então, substituindo na equação transformada, temos:
Passo 4
Vamos agora fatorar o
do lado esquerdo:
Passo 5
Para encontrar
, vamos dividir os dois lados por
:
Passo 6
Agora, precisamos simplificar essa fração usando frações parciais. Vamos decompor:
Passo 7
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, temos:
Passo 8
Expandindo e igualando os coeficientes, resolvemos para encontrar os valores de A, B, C e D. Após os cálculos, encontramos que:
Passo 9
Substituindo esses valores na expressão de
:
Passo 10
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente:
Resposta
A solução da equação diferencial é: