Utilizando a transformada de Laplace, determine a solução do problema dado. Verifique sua resposta por substituição na equação. (Suponha t ≥ 0.) ddot(x) + 4x = e^t sen(t), x(0) = 0 e dot(x)(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem a equação com as condições iniciais e . Vamos precisar lembrar como aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e saber lidar com funções exponenciais e trigonométricas na transformada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembrando que a Transformada de Laplace da segunda derivada é . Como e , essa parte fica só .

Passo 3

Agora, a Transformada de Laplace de é . E para o lado direito, a Transformada de Laplace de é . Então, substituindo na equação transformada, temos:

Passo 4

Vamos agora fatorar o do lado esquerdo:

Passo 5

Para encontrar , vamos dividir os dois lados por :

Passo 6

Agora, precisamos simplificar essa fração usando frações parciais. Vamos decompor:

Passo 7

Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:

Passo 8

Expandindo e igualando os coeficientes, resolvemos para encontrar os valores de A, B, C e D. Após os cálculos, encontramos que:

Passo 9

Substituindo esses valores na expressão de :

Passo 10

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo separadamente:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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