Esboce os conjuntos de nível de cada função. f(x, y) = y - 4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente esboçar os conjuntos de nível da função . Isso faz parte do conteúdo de funções de duas variáveis e conjuntos de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são esses conjuntos de nível e como representá-los graficamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um conjunto de nível. Para uma função de duas variáveis, um conjunto de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante . Ou seja, .

Passo 3

Aplicando isso à nossa função, temos:
Vamos resolver essa equação para :
Isso nos mostra que, para cada valor de , temos uma parábola que se abre para cima.

Passo 4

Agora, vamos escolher alguns valores de para esboçar as parábolas correspondentes. Por exemplo:
  • Se : Essa é uma parábola básica que passa pela origem.
  • Se : Essa parábola está deslocada 1 unidade para cima.
  • Se : Essa parábola está deslocada 1 unidade para baixo.

Passo 5

Vamos esboçar essas parábolas no plano cartesiano:
  • Para : Parábola passando pela origem .
  • Para : Parábola semelhante à anterior, mas toda a curva está 1 unidade acima.
  • Para : Parábola semelhante, mas deslocada 1 unidade abaixo.

Passo 6

Observando os diferentes conjuntos de nível, percebemos que todas são parábolas com o mesmo formato, apenas deslocadas verticalmente de acordo com o valor de . Isso significa que os conjuntos de nível dessa função são famílias de parábolas que se abrem para cima.

Resposta

Os conjuntos de nível da função são parábolas da forma , onde é uma constante. Cada valor de gera uma parábola deslocada verticalmente no plano cartesiano, todas se abrindo para cima.

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