Esboce os conjuntos de nível de cada função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente esboçar os conjuntos de nível da função
. Isso faz parte do conteúdo de funções de duas variáveis e conjuntos de nível. Para resolver, vamos precisar entender o que são esses conjuntos de nível e como representá-los graficamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto de nível. Para uma função de duas variáveis, um conjunto de nível é o conjunto de pontos
onde a função assume um valor constante
. Ou seja,
.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função, temos:
Vamos resolver essa equação para
:
Isso nos mostra que, para cada valor de
, temos uma parábola que se abre para cima.
Passo 4
Agora, vamos escolher alguns valores de
para esboçar as parábolas correspondentes. Por exemplo:
- Se
: Essa é uma parábola básica que passa pela origem. - Se
: Essa parábola está deslocada 1 unidade para cima. - Se
: Essa parábola está deslocada 1 unidade para baixo.
Passo 5
Vamos esboçar essas parábolas no plano cartesiano:
- Para
: Parábola passando pela origem . - Para
: Parábola semelhante à anterior, mas toda a curva está 1 unidade acima. - Para
: Parábola semelhante, mas deslocada 1 unidade abaixo.
Passo 6
Observando os diferentes conjuntos de nível, percebemos que todas são parábolas com o mesmo formato, apenas deslocadas verticalmente de acordo com o valor de
. Isso significa que os conjuntos de nível dessa função são famílias de parábolas que se abrem para cima.
Resposta
Os conjuntos de nível da função
são parábolas da forma
, onde
é uma constante. Cada valor de
gera uma parábola deslocada verticalmente no plano cartesiano, todas se abrindo para cima.
Exercícios relacionados
Descreva e esboce o domínio de cada função.
Determine se a função
é contínua em
para algum valor de
. Justifique sua resposta com argumentos consistentes, explicitando o valor de
e uma relação entre
e
, se for o caso.
Esboce os conjuntos de nível de cada função.
Utilize argumentos consistentes para calcular, se existir, o valor de
, em que
é uma função contínua dada por