Utilize as coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado:
  • inferiormente pelo cone z=raizx^2+y^2.
  • superiormente pela esfera x^2+y^2+z^2=z.
    Resposta: pi8

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado por duas superfícies: debaixo pelo cone dado por e em cima pela esfera . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para problemas com simetria radial como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera para facilitar a identificação. A equação pode ser rearranjada para , ou seja, . Isso mostra que a esfera tem raio e está centrada no ponto .

Passo 3

Agora, vamos converter as equações para coordenadas esféricas, onde , e . A equação do cone em coordenadas esféricas fica , o que simplifica para , ou seja, .

Passo 4

O próximo passo é configurar os limites de integração. Para , vamos de a porque o sólido é simétrico em torno do eixo z. Para , como estamos entre o cone e a esfera, vai de a . E para , varia de até o raio da esfera, que é .

Passo 5

Agora montamos a integral para o volume em coordenadas esféricas:
V = integral0^2pi integral0^pi4 integral0^12 rho^2 sinphi , drho , dphi , dtheta
Resolvendo essa integral passo a passo, chegamos ao resultado final.

Resposta

O volume do sólido é .

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