Utilize as coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado:
inferiormente pelo cone .
superiormente pela esfera .
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado por duas superfícies: debaixo pelo cone dado por e em cima pela esfera . Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para problemas com simetria radial como esse.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera para facilitar a identificação. A equação pode ser rearranjada para , ou seja, . Isso mostra que a esfera tem raio e está centrada no ponto .
Passo 3
Agora, vamos converter as equações para coordenadas esféricas, onde , e . A equação do cone em coordenadas esféricas fica , o que simplifica para , ou seja, .
Passo 4
O próximo passo é configurar os limites de integração. Para , vamos de a porque o sólido é simétrico em torno do eixo z. Para , como estamos entre o cone e a esfera, vai de a . E para , varia de até o raio da esfera, que é .
Passo 5
Agora montamos a integral para o volume em coordenadas esféricas:
Resolvendo essa integral passo a passo, chegamos ao resultado final.