Utilize as coordenadas esféricas para determinar o volume do sólido delimitado:
- inferiormente pelo cone
.
- superiormente pela esfera
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está limitado por duas superfícies: debaixo pelo cone dado por
e em cima pela esfera
. Para isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são ótimas para problemas com simetria radial como esse.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da esfera para facilitar a identificação. A equação
pode ser rearranjada para
, ou seja,
. Isso mostra que a esfera tem raio
e está centrada no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos converter as equações para coordenadas esféricas, onde
,
e
. A equação do cone
em coordenadas esféricas fica
, o que simplifica para
, ou seja,
.
Passo 4
O próximo passo é configurar os limites de integração. Para
, vamos de
a
porque o sólido é simétrico em torno do eixo z. Para
, como estamos entre o cone e a esfera, vai de
a
. E para
, varia de
até o raio da esfera, que é
.
Passo 5
Agora montamos a integral para o volume em coordenadas esféricas:
Resolvendo essa integral passo a passo, chegamos ao resultado final.
Resposta
O volume do sólido é
.