Verifique se a função dada por , onde e , é diferenciável em .
Dica: Encontre, por definição, .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida no domínio . A pergunta é: essa função é diferenciável no ponto ?
Para descobrir isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais nesse ponto e se ela pode ser bem aproximada por uma função linear perto desse ponto.
A dica que a gente recebeu é para encontrar, pela definição, a derivada parcial de em relação a no ponto . Então, vamos focar nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada parcial de uma função em relação a uma das variáveis usando a definição. A derivada parcial de em relação a no ponto é definida por:
No nosso caso, queremos encontrar . Vamos aplicar essa definição.

Passo 3

Vamos substituir e na fórmula da derivada parcial:
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

Vamos calcular :
E :
Substituindo de volta na expressão do limite:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro do limite:
Agora, analisamos o limite quando se aproxima de 0:

Passo 6

Observando o comportamento de quando se aproxima de 0:
À medida que fica muito pequeno, também fica muito pequeno, fazendo com que cresça sem limite. Portanto:
Isso significa que o limite não existe finitamente.

Passo 7

Como a derivada parcial não existe (o limite é infinito), isso já indica que a função não é diferenciável no ponto .
Além disso, para uma função ser diferenciável em um ponto, todas as derivadas parciais devem existir e serem contínuas nesse ponto. Como uma das derivadas parciais não existe, a função não atende aos critérios de diferenciabilidade nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

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Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado:
(a) em
(b) em
© em
Considere a função dada por
Mostre que .
Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume de um sólido que está dentro da esfera , acima do plano e abaixo do cone . Resp.