Verifique se a função f: D R^2 R dada por f(x, y)=raiz[3]x cos (y),(x, y) in D, onde D=(x, y) in R^2 mid x >= 0 e y in R, é diferenciável em (0,0).
Dica: Encontre, por definição, partial fpartial x(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida no domínio . A pergunta é: essa função é diferenciável no ponto ?
Para descobrir isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais nesse ponto e se ela pode ser bem aproximada por uma função linear perto desse ponto.
A dica que a gente recebeu é para encontrar, pela definição, a derivada parcial de em relação a no ponto . Então, vamos focar nisso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada parcial de uma função em relação a uma das variáveis usando a definição. A derivada parcial de partial fpartial x(a,b) = limh to 0 f(a+h, b) - f(a, b)h em relação a no ponto é definida por:
No nosso caso, queremos encontrar . Vamos aplicar essa definição.

Passo 3

Vamos substituir partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(0+h, 0) - f(0, 0)h = limh to 0 f(h, 0) - f(0, 0)h e na fórmula da derivada parcial:
Agora, precisamos calcular e .

Passo 4

Vamos calcular f(h, 0) = raiz[3]h cos(0) = raiz[3]h cdot 1 = raiz[3]h :
f(0, 0) = raiz[3]0 cos(0) = 0 cdot 1 = 0
E partial fpartial x(0,0) = limh to 0 raiz[3]h - 0h = limh to 0 raiz[3]hh :
Substituindo de volta na expressão do limite:

Passo 5

Simplificando a expressão dentro do limite:
raiz[3]hh = h^1/3h = h^-2/3 = 1h^2/3
Agora, analisamos o limite quando limh to 0 1h^2/3 se aproxima de 0:

Passo 6

Observando o comportamento de limh to 0 1h^2/3 = +infty quando se aproxima de 0:
À medida que fica muito pequeno, também fica muito pequeno, fazendo com que cresça sem limite. Portanto:
Isso significa que o limite não existe finitamente.

Passo 7

Como a derivada parcial não existe (o limite é infinito), isso já indica que a função não é diferenciável no ponto .
Além disso, para uma função ser diferenciável em um ponto, todas as derivadas parciais devem existir e serem contínuas nesse ponto. Como uma das derivadas parciais não existe, a função não atende aos critérios de diferenciabilidade nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto .

Exercícios relacionados