Verifique se a função
dada por
, onde
e
, é diferenciável em
.
Dica: Encontre, por definição,
.
Dica: Encontre, por definição,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
definida no domínio
. A pergunta é: essa função é diferenciável no ponto
?
Para descobrir isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais nesse ponto e se ela pode ser bem aproximada por uma função linear perto desse ponto.
A dica que a gente recebeu é para encontrar, pela definição, a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. Então, vamos focar nisso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a derivada parcial de uma função em relação a uma das variáveis usando a definição. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é definida por:
No nosso caso, queremos encontrar
. Vamos aplicar essa definição.
Passo 3
Vamos substituir
e
na fórmula da derivada parcial:
Agora, precisamos calcular
e
.
Passo 4
Vamos calcular
:
E
:
Substituindo de volta na expressão do limite:
Passo 5
Simplificando a expressão dentro do limite:
Agora, analisamos o limite quando
se aproxima de 0:
Passo 6
Observando o comportamento de
quando
se aproxima de 0:
À medida que
fica muito pequeno,
também fica muito pequeno, fazendo com que
cresça sem limite. Portanto:
Isso significa que o limite não existe finitamente.
Passo 7
Como a derivada parcial
não existe (o limite é infinito), isso já indica que a função
não é diferenciável no ponto
.
Além disso, para uma função ser diferenciável em um ponto, todas as derivadas parciais devem existir e serem contínuas nesse ponto. Como uma das derivadas parciais não existe, a função não atende aos critérios de diferenciabilidade nesse ponto.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado:
(a) em
(b) em
© em
(a)
(b)
©
Considere a função
dada por
Mostre que
.
Utilize coordenadas esféricas para determinar o volume de um sólido
que está dentro da esfera
, acima do plano
e abaixo do cone
. Resp.