Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido Dentro do cilindro e do elipsoide

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está dentro de um cilindro dado por e de um elipsoide dado por . Para isso, vamos usar coordenadas polares, mais precisamente as coordenadas cilíndricas, que são super úteis para esse tipo de problema onde temos simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Ao invés de usar , e , a gente usa (a distância do ponto à origem no plano ), (o ângulo em relação ao eixo ) e . As relações entre as coordenadas são:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:

Passo 3

Vamos reescrever as equações do cilindro e do elipsoide em coordenadas cilíndricas. Para o cilindro :
Então, o cilindro tem raio 2 e se estende indefinidamente ao longo do eixo .
Para o elipsoide :
Isso nos mostra que varia de a para cada .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos dentro do cilindro , nosso varia de 0 a 2. O ângulo vai de 0 a para cobrir toda a circunferência. E, para cada , varia de a .

Passo 5

Vamos montar a integral tripla para o volume :
Primeiro integramos em , depois em , e por último em .

Passo 6

Vamos resolver a integral em :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral em . Para isso, fazemos uma substituição:
Quando , , e quando , . Substituindo na integral:
Integrando:

Passo 8

Por fim, integramos em :
Simplificando :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

O que significa, fisicamente, o fato de uma partícula ser encontrada em uma região energeticamente proibida no contexto da mecânica quântica?
Usando a energia do estado fundamental , calcule á.
Encontre os números críticos da função.
Encontre os números críticos da função.