Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido Dentro do cilindro x^2+y^2=4 e do elipsoide 4 x^2+4 y^2+z^2=64

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está dentro de um cilindro dado por e de um elipsoide dado por . Para isso, vamos usar coordenadas polares, mais precisamente as coordenadas cilíndricas, que são super úteis para esse tipo de problema onde temos simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Ao invés de usar x = r costheta, y = r sintheta, z = z , dV = r, dr, dtheta, dz e , a gente usa (a distância do ponto à origem no plano ), (o ângulo em relação ao eixo ) e . As relações entre as coordenadas são:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:

Passo 3

Vamos reescrever as equações do cilindro e do elipsoide em coordenadas cilíndricas. Para o cilindro r^2 = 4 Rightarrow r = 2 :
4r^2 + z^2 = 64 Rightarrow z^2 = 64 - 4r^2 Rightarrow z = pm raiz64 - 4r^2 = pm 2raiz16 - r^2
Então, o cilindro tem raio 2 e se estende indefinidamente ao longo do eixo .
Para o elipsoide :
Isso nos mostra que varia de a para cada .

Passo 4

Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos dentro do cilindro , nosso varia de 0 a 2. O ângulo vai de 0 a para cobrir toda a circunferência. E, para cada , varia de a .

Passo 5

Vamos montar a integral tripla para o volume V = integral0^2pi integral0^2 integral-2raiz16 - r^2^2raiz16 - r^2 r, dz, dr, dtheta :
Primeiro integramos em , depois em , e por último em .

Passo 6

Vamos resolver a integral em integral-2raiz16 - r^2^2raiz16 - r^2 dz = 2 times 2raiz16 - r^2 = 4raiz16 - r^2 :
V = integral0^2pi integral0^2 4rraiz16 - r^2, dr, dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral em u = 16 - r^2 Rightarrow du = -2r, dr Rightarrow -du2 = r, dr . Para isso, fazemos uma substituição:
integral0^2 4rraiz16 - r^2, dr = 4 times ( -12 integral16^12 raizu, du ) = 2 integral12^16 raizu, du
Quando 2 times [ 23 u^3/2 ]12^16 = 43 ( 16^3/2 - 12^3/2 ) = 43 ( 64 - 12raiz12 ) = 2563 - 16raiz12 , , e quando , . Substituindo na integral:
Integrando:

Passo 8

Por fim, integramos em V = integral0^2pi ( 2563 - 16raiz12 ) dtheta = ( 2563 - 16raiz12 ) times 2pi = 512pi3 - 32piraiz12 :
V = 512pi3 - 64piraiz3
Simplificando :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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