Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido Dentro do cilindro
e do elipsoide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que está dentro de um cilindro dado por
e de um elipsoide dado por
. Para isso, vamos usar coordenadas polares, mais precisamente as coordenadas cilíndricas, que são super úteis para esse tipo de problema onde temos simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas cilíndricas. Ao invés de usar
,
e
, a gente usa
(a distância do ponto à origem no plano
),
(o ângulo em relação ao eixo
) e
. As relações entre as coordenadas são:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
Passo 3
Vamos reescrever as equações do cilindro e do elipsoide em coordenadas cilíndricas. Para o cilindro
:
Então, o cilindro tem raio 2 e se estende indefinidamente ao longo do eixo
.
Para o elipsoide
:
Isso nos mostra que
varia de
a
para cada
.
Passo 4
Agora, vamos definir os limites de integração. Como estamos dentro do cilindro
, nosso
varia de 0 a 2. O ângulo
vai de 0 a
para cobrir toda a circunferência. E, para cada
,
varia de
a
.
Passo 5
Vamos montar a integral tripla para o volume
:
Primeiro integramos em
, depois em
, e por último em
.
Passo 6
Vamos resolver a integral em
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral em
. Para isso, fazemos uma substituição:
Quando
,
, e quando
,
. Substituindo na integral:
Integrando:
Passo 8
Por fim, integramos em
:
Simplificando
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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, calcule
.
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