Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o volume de um tetraedro que é formado pelos planos coordenados (ou seja, os planos
,
e
) e pelo plano
. Para resolver isso, vamos usar a técnica de integrais triplas, que nos ajuda a calcular volumes em espaços tridimensionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender os limites de integração para nossas variáveis
,
e
. Como estamos trabalhando com os planos coordenados e o plano dado, podemos determinar os pontos de interseção para encontrar esses limites.
Quando
, o plano
se torna
.
Quando , o plano se torna
.
Quando , o plano se torna
.
Quando
Quando
Isso nos ajuda a definir os limites para cada variável.
Passo 3
Agora, vamos estabelecer os limites de integração:
-
varia de 0 até o ponto onde , ou seja, . - Para cada valor de
, varia de 0 até . - Para cada par de valores
e , varia de 0 até .
Passo 4
Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume
:
Vamos resolver a integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
:
Substituindo os limites:
Portanto, a integral agora é:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do tetraedro é
unidades cúbicas.
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, onde
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Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
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e
Expresse a integral
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é o sólido limitado pelas superfícies dadas.