Use a integral tripla para determinar o volume do tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano 2 x + y + z = 4.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o volume de um tetraedro que é formado pelos planos coordenados (ou seja, os planos , e ) e pelo plano . Para resolver isso, vamos usar a técnica de integrais triplas, que nos ajuda a calcular volumes em espaços tridimensionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender os limites de integração para nossas variáveis , e . Como estamos trabalhando com os planos coordenados e o plano dado, podemos determinar os pontos de interseção para encontrar esses limites.
Quando , o plano se torna .
Quando , o plano se torna .
Quando , o plano se torna .
Isso nos ajuda a definir os limites para cada variável.

Passo 3

Agora, vamos estabelecer os limites de integração:
  • varia de 0 até o ponto onde , ou seja, .
  • Para cada valor de , varia de 0 até .
  • Para cada par de valores e , varia de 0 até .

Passo 4

Com os limites definidos, podemos montar a integral tripla para calcular o volume :
Vamos resolver a integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a :
Substituindo os limites:
Portanto, a integral agora é:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo os limites:

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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