Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. A gente vai usar o desenvolvimento em séries de Maclaurin, que é uma forma de expandir funções em potências de
ao redor de 0. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da série de Maclaurin para
:
Como temos
no nosso exercício, substituímos
por
:
Passo 3
Vamos simplificar os termos da série:
Passo 4
Agora, substituímos
na expressão original do limite:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Os termos constantes e os de
se cancelam, deixando apenas os termos de ordem
ou superiores.
Passo 6
Dividindo o numerador por
:
À medida que
tende a 0, os termos com potências superiores a
vão a zero.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine o intervalo e o raio de convergência da série de funções, centrada em zero, que representa a função
.
Encontre o raio e o domínio de convergência da série
.
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(e)
(e)
Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de
que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(b)
(b)