Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(a) lim x 0 cos 2 x+2 x^2-1x^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . A gente vai usar o desenvolvimento em séries de Maclaurin, que é uma forma de expandir funções em potências de ao redor de 0. Para isso, vamos precisar conhecer a série de Maclaurin da função cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da série de Maclaurin para cos(x) = 1 - x^22! + x^44! - x^66! + cdots :
cos(2x) = 1 - (2x)^22! + (2x)^44! - (2x)^66! + cdots
Como temos no nosso exercício, substituímos por :

Passo 3

Vamos simplificar os termos da série:
cos(2x) = 1 - 4x^22 + 16x^424 - 64x^6720 + cdots cos(2x) = 1 - 2x^2 + 23x^4 - 890x^6 + cdots

Passo 4

Agora, substituímos cos 2x + 2x^2 -1x^4 = (1 - 2x^2 + 23x^4 - cdots) + 2x^2 -1x^4 na expressão original do limite:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
1 - 2x^2 + 23x^4 - cdots + 2x^2 -1 = 23x^4 - cdots
Os termos constantes e os de se cancelam, deixando apenas os termos de ordem ou superiores.

Passo 6

Dividindo o numerador por 23x^4 - cdotsx^4 = 23 - cdots :
À medida que tende a 0, os termos com potências superiores a vão a zero.

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determine o intervalo e o raio de convergência da série de funções, centrada em zero, que representa a função f(x) = (e^(x^2) - 1) / x.
Encontre o raio e o domínio de convergência da série sumn=0^infty 2^n(x-2)^n5^n(1+n^2).
Utilize desenvolvimento em séries de Maclaurin para calcular os seguintes limites.
(e) lim x 0 ln (1+x^3)-e^x^3+1x^6
Utilize séries numéricas e/ou séries de potências para encontrar os valores reais de k que tornam válidas cada uma das igualdades abaixo.
(b) lim x 0 e^-x^4-cos (x^2)x^4=k