Determine o intervalo e o raio de convergência da série de funções, centrada em zero, que representa a função f(x) = (e^(x^2) - 1) / x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de funções centrada em zero que representa a função . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências, especialmente a série de Taylor (ou Maclaurin, já que é centrada em zero), e métodos para determinar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para . Sabemos que:
Agora, se substituirmos por , a série fica:

Passo 3

Agora, vamos montar a expressão para :
Note que subtraímos o primeiro termo , que é 1.

Passo 4

Agora, queremos dividir essa série por para obter :
Reescrevendo o índice para facilitar, podemos deixar:

Passo 5

Para encontrar o raio e o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge.
Vamos considerar o termo geral da nossa série:
Aplicando o Teste da Razão:
Como , a série converge para todo valor de .

Passo 6

Sabemos que se o raio de convergência é infinito, então a série converge para todo real.

Resposta

A série de funções centrada em zero que representa converge para todo real. Portanto, o intervalo de convergência é e o raio de convergência é infinito.

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