Determine o intervalo e o raio de convergência da série de funções, centrada em zero, que representa a função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o intervalo e o raio de convergência da série de funções centrada em zero que representa a função
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências, especialmente a série de Taylor (ou Maclaurin, já que é centrada em zero), e métodos para determinar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor para
. Sabemos que:
Agora, se substituirmos
por
, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos montar a expressão para
:
Note que subtraímos o primeiro termo
, que é 1.
Passo 4
Agora, queremos dividir essa série por
para obter
:
Reescrevendo o índice para facilitar, podemos deixar:
Passo 5
Para encontrar o raio e o intervalo de convergência, vamos usar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de
a série converge.
Vamos considerar o termo geral da nossa série:
Aplicando o Teste da Razão:
Como
, a série converge para todo valor de
.
Passo 6
Sabemos que se o raio de convergência
é infinito, então a série converge para todo
real.
Resposta
A série de funções centrada em zero que representa
converge para todo
real. Portanto, o intervalo de convergência é
e o raio de convergência é infinito.