Encontre o raio e o domínio de convergência da série sumn=0^infty 2^n(x-2)^n5^n(1+n^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o domínio de convergência da série . Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é .

Passo 3

A gente vai aplicar o Teste da Razão, que diz que para uma série , se o limite for menor que 1, a série converge. Se for maior que 1, a série diverge. Se for igual a 1, o teste não conclui nada.

Passo 4

Vamos calcular | an+1an | = | 2^n+1(x-2)^n+15^n+1(1+(n+1)^2) cdot 5^n(1+n^2)2^n(x-2)^n | :
= | 2 cdot (x-2)5 cdot 1 + n^21 + (n+1)^2 |
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | 2(x-2)5 cdot 1 + n^21 + (n+1)^2 | tende ao infinito:
L = | 2(x-2)5 |
Como tende ao infinito, , então:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que | 2(x-2)5 | < 1 :
|x - 2| < 52
Resolvendo a desigualdade:
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 7

Agora, vamos encontrar o domínio de convergência, que são os valores de |x - 2| < 52 Rightarrow -52 < x - 2 < 52 onde a série converge. Sabemos que:
-52 + 2 < x < 52 + 2 Rightarrow -12 < x < 92
Adicionando 2 em todas as partes:
Isso nos dá o intervalo .

Passo 8

Por último, vamos verificar os pontos finais e :
  • Para :
    Substituindo na série, obtemos uma série alternada da forma , que converge pelo Teste da Série Alternada.
  • Para :
    A série se torna , que é uma série p com e, portanto, converge.

Resposta

O raio de convergência da série é e o domínio de convergência é o intervalo .

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