Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) Desafio: .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício da função . Neste exercício, vamos explorar vários aspectos da função, como o domínio, as raízes, os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e limites.

Passo 2

Domínio da Função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Para , como é um polinômio, não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos. Portanto, o domínio é todos os números reais.
í

Passo 3

Localizando as Raízes da Função
As raízes da função são os valores de que tornam .
Então, resolvemos:
Podemos fatorar:
Agora, resolvemos e :
Para a segunda equação:
Portanto, as raízes são e .

Passo 4

Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos a derivada primeira .
Primeira derivada:
Vamos resolver para encontrar os pontos críticos:
Agora, testamos os intervalos determinados por esses pontos:
  1. Para , por exemplo, :
  1. Para , por exemplo, :
  1. Para , por exemplo, :
Conclusão:
  • Cresce em e
  • Decresce em

Passo 5

Concavidade e Pontos de Inflexão
Para analisar a concavidade, usamos a derivada segunda .
Segunda derivada:
Encontramos onde :
Agora, analisamos a concavidade nos intervalos:
  1. Para , por exemplo, :
  1. Para , por exemplo, :
Ponto de Inflexão:
Em , a concavidade muda, então é um ponto de inflexão.
Calculando :
Então, o ponto de inflexão é .

Passo 6

Assíntotas
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca atinge. No caso de polinômios, geralmente checamos assíntotas horizontais ou oblíquas.
Para , que é um polinômio de grau 3, não há assíntotas horizontais ou verticais. Polinômios não têm denominação que possa gerar assíntotas verticais, e o crescimento do grau indica que a função tende ao infinito positivo ou negativo sem se aproximar de uma linha específica.
Conclusão:
Não há assíntotas.

Passo 7

Esboço do Gráfico
Com todas as informações obtidas:
  • Raízes: e
  • Crescimento: e
  • Decrescimento:
  • Concavidade: Para baixo em e para cima em
  • Ponto de Inflexão:
  • Sem Assíntotas
Além disso, podemos calcular alguns limites:
Com isso, conseguimos traçar o gráfico mostrando todas as características descritas.

Resposta

A função tem domínio em todos os números reais, raízes em e , cresce nos intervalos e , decresce em , é côncava para baixo em e para cima em com ponto de inflexão em . Não possui assíntotas e seu gráfico reflete essas características conforme descrito.

Exercícios relacionados

Determine as assíntotas das funções abaixo, caso existam:
(a)
(b)
©
(d) .
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
(a)
(b)
©
(d)
(e) .
(f) .
Calcule a derivada indicada em cada caso:
(a) , quando
(b)
© .
Utilize o exercício anterior para encontrar de modo que a equação tenha uma raiz dupla.