Dadas as funções abaixo, explicite o domínio, localize suas raízes, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, estude a concavidade, destaque os pontos de inflexão, determine as assíntotas (caso existam) e esboce o gráfico (calcule todos os limites necessários):
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) Desafio:
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) Desafio:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício da função
. Neste exercício, vamos explorar vários aspectos da função, como o domínio, as raízes, os intervalos de crescimento e decrescimento, a concavidade, os pontos de inflexão, as assíntotas e, por fim, esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e limites.
Passo 2
Domínio da Função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida.
Para
, como é um polinômio, não há restrições como divisões por zero ou raízes de números negativos. Portanto, o domínio é todos os números reais.
Passo 3
Localizando as Raízes da Função
As raízes da função são os valores de
que tornam
.
Então, resolvemos:
Podemos fatorar:
Agora, resolvemos
e
:
Para a segunda equação:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 4
Intervalos de Crescimento e Decrescimento
Para encontrar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisamos a derivada primeira
.
Primeira derivada:
Vamos resolver
para encontrar os pontos críticos:
Agora, testamos os intervalos determinados por esses pontos:
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Conclusão:
- Cresce em
e - Decresce em
Passo 5
Concavidade e Pontos de Inflexão
Para analisar a concavidade, usamos a derivada segunda
.
Segunda derivada:
Encontramos onde
:
Agora, analisamos a concavidade nos intervalos:
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Ponto de Inflexão:
Em , a concavidade muda, então é um ponto de inflexão.
Em
Calculando
:
Então, o ponto de inflexão é
.
Passo 6
Assíntotas
Assíntotas são linhas que a função se aproxima mas nunca atinge. No caso de polinômios, geralmente checamos assíntotas horizontais ou oblíquas.
Para
, que é um polinômio de grau 3, não há assíntotas horizontais ou verticais. Polinômios não têm denominação que possa gerar assíntotas verticais, e o crescimento do grau indica que a função tende ao infinito positivo ou negativo sem se aproximar de uma linha específica.
Conclusão:
Não há assíntotas.
Não há assíntotas.
Passo 7
Esboço do Gráfico
Com todas as informações obtidas:
- Raízes:
e - Crescimento:
e - Decrescimento:
- Concavidade: Para baixo em
e para cima em - Ponto de Inflexão:
- Sem Assíntotas
Além disso, podemos calcular alguns limites:
Com isso, conseguimos traçar o gráfico mostrando todas as características descritas.
Resposta
A função
tem domínio em todos os números reais, raízes em
e
, cresce nos intervalos
e
, decresce em
, é côncava para baixo em
e para cima em
com ponto de inflexão em
. Não possui assíntotas e seu gráfico reflete essas características conforme descrito.
Exercícios relacionados
Determine as assíntotas das funções abaixo, caso existam:
(a)
(b)
©
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão:
(a)
(b)
©
(d)
(e) .
(f) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
Calcule a derivada indicada em cada caso:
(a) , quando
(b)
© .
(a)
(b)
©
Utilize o exercício anterior para encontrar
de modo que a equação
tenha uma raiz dupla.