Modele e resolva os problemas abaixo.
Uma bola de naftalina evapora, de modo que o volume diminui com uma taxa proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Sendo a constante de proporcionalidade e o volume inicial da bola, determine o volume ao longo do tempo. Após quanto tempo a bola terá evaporado por completo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola de naftalina que está evaporando. O volume dela está diminuindo de uma maneira que a taxa de diminuição é proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Isso significa que usamos conceitos de taxas de variação e equações diferenciais para resolver. Vamos precisar montar uma equação que relaciona a variação do volume com o tempo e resolver essa equação para encontrar o volume em função do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir a descrição em uma equação matemática. A taxa de variação do volume em relação ao tempo, , é proporcional à raiz cúbica do volume ao quadrado. Isso fica assim:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da taxa de variação. A raiz cúbica de pode ser escrita como . Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis para facilitar a resolução. Queremos colocar todos os termos com de um lado e os termos com do outro:

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de em relação a é:
E a integral de em relação a é:

Passo 6

Igualando as integrais e juntando as constantes de integração, temos:

Passo 7

Vamos resolver para . Primeiro, isolamos :
Vamos chamar de para simplificar:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial. No tempo , o volume é . Então:
Substituindo de volta:

Passo 9

Elevamos ambos os lados ao cubo para resolver para :

Passo 10

Para encontrar o tempo quando a bola evapora por completo, ou seja, quando , igualamos a expressão a zero:
Tomando a raiz cúbica de ambos os lados:
Resolvendo para :

Resposta

O volume da bola ao longo do tempo é dado por:
E a bola evaporará completamente após:

Exercícios relacionados

Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
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Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
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Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
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