Modele e resolva os problemas abaixo.
Uma bola de naftalina evapora, de modo que o volume diminui com uma taxa proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Sendo
a constante de proporcionalidade e
o volume inicial da bola, determine o volume
ao longo do tempo. Após quanto tempo a bola terá evaporado por completo?
Uma bola de naftalina evapora, de modo que o volume diminui com uma taxa proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Sendo
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma bola de naftalina que está evaporando. O volume dela está diminuindo de uma maneira que a taxa de diminuição é proporcional à raiz cúbica do volume elevado ao quadrado. Isso significa que usamos conceitos de taxas de variação e equações diferenciais para resolver. Vamos precisar montar uma equação que relaciona a variação do volume com o tempo e resolver essa equação para encontrar o volume em função do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a descrição em uma equação matemática. A taxa de variação do volume em relação ao tempo,
, é proporcional à raiz cúbica do volume ao quadrado. Isso fica assim:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da taxa de variação. A raiz cúbica de
pode ser escrita como
. Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis para facilitar a resolução. Queremos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
em relação a
é:
E a integral de
em relação a
é:
Passo 6
Igualando as integrais e juntando as constantes de integração, temos:
Passo 7
Vamos resolver para
. Primeiro, isolamos
:
Vamos chamar
de
para simplificar:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial. No tempo
, o volume é
. Então:
Substituindo de volta:
Passo 9
Elevamos ambos os lados ao cubo para resolver para
:
Passo 10
Para encontrar o tempo
quando a bola evapora por completo, ou seja, quando
, igualamos a expressão a zero:
Tomando a raiz cúbica de ambos os lados:
Resolvendo para
:
Resposta
O volume da bola ao longo do tempo é dado por:
E a bola evaporará completamente após:
Exercícios relacionados
Encontre fatores integrantes para cada equação diferencial abaixo e resolva.
.
Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
.
Resolva cada uma dos PVIs seguintes:
Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
.