Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura da função vetorial dada usando a Fórmula 9. Isso significa que vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de vetores e produtos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e segunda derivadas da função, fazer o produto vetorial dessas derivadas e, por fim, aplicar a fórmula da curvatura.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial que temos:
Essa função descreve uma curva no espaço tridimensional parametrizada pelo parâmetro .

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada da função em relação a . A primeira derivada nos dá o vetor velocidade da curva:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a segunda derivada da função em relação a . A segunda derivada nos dá a aceleração da curva:

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre e . O produto vetorial é dado por:
Fazendo a expansão do determinante:
Simplificando:
Como , temos:

Passo 6

Agora, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial:

Passo 7

Em seguida, vamos calcular a magnitude da primeira derivada :

Passo 8

Agora, vamos elevar essa magnitude ao cubo:

Passo 9

Finalmente, aplicamos a Fórmula 9 para encontrar a curvatura :

Resposta

A curvatura da curva dada é .

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Determine os vetores tangente e normal unitários e .
Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.