Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a curvatura da função vetorial dada usando a Fórmula 9. Isso significa que vamos trabalhar com cálculo vetorial, especificamente com derivadas de vetores e produtos vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e segunda derivadas da função, fazer o produto vetorial dessas derivadas e, por fim, aplicar a fórmula da curvatura.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial que temos:
Essa função descreve uma curva no espaço tridimensional parametrizada pelo parâmetro
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada da função
em relação a
. A primeira derivada
nos dá o vetor velocidade da curva:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a segunda derivada da função
em relação a
. A segunda derivada
nos dá a aceleração da curva:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto vetorial entre
e
. O produto vetorial
é dado por:
Fazendo a expansão do determinante:
Simplificando:
Como , temos:
Passo 6
Agora, vamos calcular a magnitude desse produto vetorial:
Passo 7
Em seguida, vamos calcular a magnitude da primeira derivada
:
Passo 8
Agora, vamos elevar essa magnitude ao cubo:
Passo 9
Finalmente, aplicamos a Fórmula 9 para encontrar a curvatura
:
Resposta
A curvatura da curva dada é
.
Exercícios relacionados
Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.
Determine os vetores tangente e normal unitários
e
.
Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura.